Um objeto móvel (partícula) parte de um determinado ponto com movimento que obedece a seguinte equação:
, onde
é a posição (em metros) e t é o tempo (em segundos). Um segundo depois parte outro objeto móvel (partícula), do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter este segundo objeto a fim de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que partem do mesmo ponto, mas em momentos diferentes e com tipos de movimento distintos. A primeira partícula tem um movimento cuja posição em metros é dada pela fórmula
, onde
é o tempo em segundos. A segunda partícula parte um segundo depois, mas ela vai se mover de forma uniforme, ou seja, com velocidade constante. A pergunta é: qual a menor velocidade que essa segunda partícula deve ter para seguir a mesma trajetória?
Conteúdo necessário: Movimento uniformemente variado (para a primeira partícula) e movimento uniforme (para a segunda partícula). Vamos precisar usar as equações de movimento e igualar as posições das duas partículas para encontrar a velocidade mínima da segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as trajetórias das duas partículas. A primeira partícula tem uma posição dada por
. Isso significa que sua velocidade não é constante; na verdade, a velocidade dela aumenta com o tempo.
A segunda partícula parte um segundo depois, então se chamarmos o tempo de partida da segunda partícula de
segundo, vamos precisar ajustar as equações para levar isso em conta.
Como a segunda partícula tem movimento uniforme, sua posição em função do tempo é dada por:
Aqui,
é a velocidade constante que queremos encontrar, e
representa o tempo que a segunda partícula está em movimento, já que ela parte um segundo após a primeira.
Passo 3
Para encontrar o momento em que a segunda partícula alcança a primeira, precisamos igualar as posições das duas partículas:
Substituindo as equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, reorganizamos a equação:
Essa é uma equação do segundo grau em relação ao tempo
. Para que a segunda partícula consiga alcançar a primeira, essa equação precisa ter pelo menos uma solução real positiva para
.
Para que a equação quadrática
tenha soluções reais, o discriminante
deve ser maior ou igual a zero:
No nosso caso:
Então:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade
:
As soluções para essa desigualdade ocorrem quando
ou
. Porém, como a velocidade
não pode ser negativa nesse contexto, descartamos
.
Portanto, para que a segunda partícula alcance a primeira, sua velocidade deve ser maior ou igual a 16 m/s.
Resposta
A menor velocidade que a segunda partícula deve ter para alcançar a primeira é 16 metros por segundo.