Um objeto móvel (partícula) parte de um determinado ponto com movimento que obedece a seguinte equação: x=4 t^2, onde x é a posição (em metros) e t é o tempo (em segundos). Um segundo depois parte outro objeto móvel (partícula), do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter este segundo objeto a fim de

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que partem do mesmo ponto, mas em momentos diferentes e com tipos de movimento distintos. A primeira partícula tem um movimento cuja posição em metros é dada pela fórmula , onde é o tempo em segundos. A segunda partícula parte um segundo depois, mas ela vai se mover de forma uniforme, ou seja, com velocidade constante. A pergunta é: qual a menor velocidade que essa segunda partícula deve ter para seguir a mesma trajetória?
Conteúdo necessário: Movimento uniformemente variado (para a primeira partícula) e movimento uniforme (para a segunda partícula). Vamos precisar usar as equações de movimento e igualar as posições das duas partículas para encontrar a velocidade mínima da segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias das duas partículas. A primeira partícula tem uma posição dada por x2(t) = v (t - 1) . Isso significa que sua velocidade não é constante; na verdade, a velocidade dela aumenta com o tempo.
A segunda partícula parte um segundo depois, então se chamarmos o tempo de partida da segunda partícula de segundo, vamos precisar ajustar as equações para levar isso em conta.
Como a segunda partícula tem movimento uniforme, sua posição em função do tempo é dada por:
Aqui, é a velocidade constante que queremos encontrar, e representa o tempo que a segunda partícula está em movimento, já que ela parte um segundo após a primeira.

Passo 3

Para encontrar o momento em que a segunda partícula alcança a primeira, precisamos igualar as posições das duas partículas:
x1(t) = x2(t)
Substituindo as equações:
4 t^2 = v (t - 1)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 4 t^2 - v t + v = 0 . Primeiro, reorganizamos a equação:
De= 0
Essa é uma equação do segundo grau em relação ao tempo a = 4 . Para que a segunda partícula consiga alcançar a primeira, essa equação precisa ter pelo menos uma solução real positiva para b = -v .
Para que a equação quadrática c = v tenha soluções reais, o discriminante De= 0 deve ser maior ou igual a zero:
No nosso caso:
Então:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade v (v - 16) >= 0 :
As soluções para essa desigualdade ocorrem quando ou . Porém, como a velocidade não pode ser negativa nesse contexto, descartamos .
Portanto, para que a segunda partícula alcance a primeira, sua velocidade deve ser maior ou igual a 16 m/s.

Resposta

A menor velocidade que a segunda partícula deve ter para alcançar a primeira é 16 metros por segundo.

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