Um objeto em movimento ao longo de uma linha reta tem sua posição s(t), em metros, descrita pela função:
s(t)=3 t^2-2 t+5
onde t é o tempo em segundos.
Qual é a velocidade instantânea do objeto no instante t=4 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que se move numa linha reta, e a posição dele ao longo do tempo é dada pela função:
s(t)=3 t^2-2 t+5
O que a gente quer descobrir é qual é a velocidade desse objeto exatamente no instante de 4 segundos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que no cálculo diferencial nos ajuda a encontrar a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função s(t). A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade. Então, vamos derivar cada termo da função:
  • A derivada de v(t) = 6t - 2 é (usamos a regra do poder, multiplicando o expoente por 3 e diminuindo o expoente em 1).
  • A derivada de é (a derivada de t é 1, então só multiplicamos pelo coeficiente).
  • A derivada de 5, que é uma constante, é 0.
Então, a função da velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade no instante v(4) = 6 times 4 - 2 = 24 - 2 = 22 segundos. Basta substituir 4 na função da velocidade que encontramos:

Resposta

A velocidade instantânea do objeto no instante segundos é 22 metros por segundo.

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