A posição de um barco que se move ao longo de um rio é descrita pela função:
s(t)=2 t^3-9 t^2+12 t,
onde s(t) é a posição em metros e t o tempo em segundos.
Qual é a velocidade instantânea do barco nos instantes t=2 s e t=3 s?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função que descreve a posição de um barco ao longo do tempo:
s(t) = 2 t^3 - 9 t^2 + 12 t,
onde s(t) é a posição em metros e t é o tempo em segundos. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade instantânea do barco nos instantes t = 2 s e t = 3 s.

Passo 2

Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos calcular a derivada da função posição s(t) em relação ao tempo t. A derivada de s(t), denotada por s'(t), nos dá a velocidade instantânea.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo da função s(t):
  • A derivada de 2 t^3 é 6 t^2.
  • A derivada de -9 t^2 é -18 t.
  • A derivada de 12 t é 12.
Portanto,
s'(t) = 6 t^2 - 18 t + 12

Passo 4

Agora que temos a função da velocidade s'(t), podemos calcular a velocidade instantânea nos instantes específicos. Vamos substituir t = 2 e t = 3 na função s'(t).

Passo 5

Primeiro, para t = 2 segundos:
s'(2) = 6 (2)^2 - 18 (2) + 12 = 6 times 4 - 36 + 12 = 24 - 36 + 12 = 0

Passo 6

Em seguida, para t = 3 segundos:
s'(3) = 6 (3)^2 - 18 (3) + 12 = 6 times 9 - 54 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12

Resposta

A velocidade instantânea do barco é:
  • 0 metros por segundo em t = 2 s,
  • 12 metros por segundo em t = 3 s.

Exercícios relacionados