Um objeto pontual de massa m desliza com velocidade inicial , horizontal, do topo de uma esfera em repouso, de raio . Ao escorregar pela superfície, o objeto sofre uma força de atrito de modulo constante dado por . Para que o objeto se desprenda da superfície esférica ao percorrer um arco de (veja figura), sua velocidade inicial dever ser quanto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto pontual de massa que desce o topo de uma esfera de raio com uma velocidade inicial . Ele desliza pela superfície da esfera, sofrendo uma força de atrito constante . Queremos descobrir qual deve ser a velocidade inicial para que o objeto se solte da esfera após percorrer um arco de .
Matéria envolvida: Mecânica, especificamente a conservação de energia e as forças envolvidas em um movimento circular.
O que vamos precisar:
  • Equações da conservação de energia.
  • Análise das forças atuantes no objeto durante o movimento.
  • Relação entre velocidade, aceleração centrípeta e ângulo percorrido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no objeto enquanto ele desliza pela esfera. Temos:
  1. Força peso ( ): Puxando o objeto para baixo.
  2. Força normal ( ): A força que a superfície da esfera exerce sobre o objeto, perpendicular à superfície.
  3. Força de atrito ( ): Atuando contra o movimento, com módulo .
Quando o objeto está se movendo, não apenas sobe ou desce, mas também está mudando de direção, o que gera uma aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular.

Passo 3

Para que o objeto se desprenda da superfície da esfera, a força normal deve ser igual a zero naquele ponto. Isso porque a força normal é o que mantém o objeto “preso” à superfície. Quando , o objeto está livre para seguir seu caminho inercial.
Então, na altura de , temos:
Onde e .

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para encontrar a velocidade no ponto onde o objeto se desprende:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos pelo seu valor, que é :
Vamos fatorar :

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Este é o valor da velocidade inicial necessária para que o objeto se desprenda da superfície da esfera após percorrer .

Resposta

A velocidade inicial deve ser:

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