Um objeto pontual de massa m desliza com velocidade inicial
, horizontal, do topo de uma esfera em repouso, de raio
. Ao escorregar pela superfície, o objeto sofre uma força de atrito de modulo constante dado por
. Para que o objeto se desprenda da superfície esférica ao percorrer um arco de
(veja figura), sua velocidade inicial dever ser quanto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto pontual de massa
que desce o topo de uma esfera de raio
com uma velocidade inicial
. Ele desliza pela superfície da esfera, sofrendo uma força de atrito constante
. Queremos descobrir qual deve ser a velocidade inicial
para que o objeto se solte da esfera após percorrer um arco de
.
Matéria envolvida: Mecânica, especificamente a conservação de energia e as forças envolvidas em um movimento circular.
O que vamos precisar:
- Equações da conservação de energia.
- Análise das forças atuantes no objeto durante o movimento.
- Relação entre velocidade, aceleração centrípeta e ângulo percorrido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam no objeto enquanto ele desliza pela esfera. Temos:
- Força peso (
): Puxando o objeto para baixo. - Força normal (
): A força que a superfície da esfera exerce sobre o objeto, perpendicular à superfície. - Força de atrito (
): Atuando contra o movimento, com módulo .
Quando o objeto está se movendo, não apenas sobe ou desce, mas também está mudando de direção, o que gera uma aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular.
Passo 3
Para que o objeto se desprenda da superfície da esfera, a força normal
deve ser igual a zero naquele ponto. Isso porque a força normal é o que mantém o objeto “preso” à superfície. Quando
, o objeto está livre para seguir seu caminho inercial.
Então, na altura de
, temos:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para encontrar a velocidade
no ponto onde o objeto se desprende:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
pelo seu valor, que é
:
Vamos fatorar
:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Este é o valor da velocidade inicial necessária para que o objeto se desprenda da superfície da esfera após percorrer
.
Resposta
A velocidade inicial
deve ser: