Um objeto sofre um movimento harmônico simples ao longo do eixo x com um período de 0,50 s e amplitude de 25 mm . Sua posição é x=14 mm quando t=0. Escreve a equação do movimento com todas as variáveis identificadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre Movimento Harmônico Simples (MHS), onde um objeto se move de forma periódica ao longo de um eixo. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de período, amplitude e como montar a equação do movimento usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral do Movimento Harmônico Simples. A posição x(t) = A cos(omega t + phi) em função do tempo pode ser escrita como:
Aqui:
  • é a amplitude, que é o deslocamento máximo do objeto em relação à posição de equilíbrio.
  • é a frequência angular, relacionada ao período pela fórmula .
  • é a fase inicial, que ajusta a posição do objeto no tempo .

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no exercício:
  • Período omega = 2piT = 2pi0,50, s = 4pi, rad/s : 0,50 s
  • Amplitude : 25 mm
  • Posição inicial : 14 mm
Primeiro, calculamos a frequência angular :

Passo 4

Agora, sabemos que quando x(0) = A cos(phi) Rightarrow 14, mm = 25, mm cos(phi) , cos(phi) = 1425 Rightarrow phi = arccos(1425) mm. Vamos usar isso para encontrar a fase inicial phi approx arccos(0,56) approx 0,979, rad :
Resolvendo para :
Calculando :

Passo 5

Com todos os valores encontrados, podemos montar a equação completa do movimento:
x(t) = 25, mm cos(4pi, t + 0,979)
Aqui:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Resposta

A equação do movimento é:
x(t) = 25, mm cos(4pi, t + 0,979)

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