Num oscilador amortecido, considere . Quantos períodos serão necessários para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial? 7,5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre um oscilador amortecido. O enunciado nos dá os valores de massa (m), constante elástica (k) e coeficiente de amortecimento (b). Nosso objetivo é descobrir quantos períodos são necessários para que a energia mecânica do sistema caia para metade do valor inicial. Para isso, vamos precisar entender como a energia se comporta em um sistema amortecido e usar algumas fórmulas da física de oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa para unidades do Sistema Internacional. Sabemos que m = 250 g, então:

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a frequência angular natural ( ) do sistema, que é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o período ( ) do oscilador sem amortecimento usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 5

No sistema amortecido, a energia mecânica decai exponencialmente com o tempo. A equação para a energia em função do tempo é:
Onde é a taxa de amortecimento, dada por:
Calculando :

Passo 6

Queremos encontrar o tempo para que a energia caia para metade, ou seja, . Substituindo na equação da energia:
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 7

Por fim, queremos saber quantos períodos são necessários para esse tempo. Sabemos que um período , então:
Arredondando, são necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.

Resposta

São necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.

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