Num oscilador amortecido, considere
. Quantos períodos serão necessários para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial? 7,5
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão sobre um oscilador amortecido. O enunciado nos dá os valores de massa (m), constante elástica (k) e coeficiente de amortecimento (b). Nosso objetivo é descobrir quantos períodos são necessários para que a energia mecânica do sistema caia para metade do valor inicial. Para isso, vamos precisar entender como a energia se comporta em um sistema amortecido e usar algumas fórmulas da física de oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa para unidades do Sistema Internacional. Sabemos que m = 250 g, então:
Passo 3
Em seguida, vamos determinar a frequência angular natural (
) do sistema, que é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o período (
) do oscilador sem amortecimento usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 5
No sistema amortecido, a energia mecânica decai exponencialmente com o tempo. A equação para a energia em função do tempo é:
Onde
é a taxa de amortecimento, dada por:
Calculando
:
Passo 6
Queremos encontrar o tempo
para que a energia caia para metade, ou seja,
. Substituindo na equação da energia:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 7
Por fim, queremos saber quantos períodos são necessários para esse tempo. Sabemos que um período
, então:
Arredondando, são necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.
Resposta
São necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.
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