Num oscilador amortecido, considere m=250 g, k=85 N / m e b=0,070 kg / s. Quantos períodos serão necessários para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial? 7,5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre um oscilador amortecido. O enunciado nos dá os valores de massa (m), constante elástica (k) e coeficiente de amortecimento (b). Nosso objetivo é descobrir quantos períodos são necessários para que a energia mecânica do sistema caia para metade do valor inicial. Para isso, vamos precisar entender como a energia se comporta em um sistema amortecido e usar algumas fórmulas da física de oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa para unidades do Sistema Internacional. Sabemos que m = 250 g, então:
m = 250 , g = 0,250 , kg

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a frequência angular natural ( omega0 = raizkm ) do sistema, que é dada por:
omega0 = raiz85 , N/m0,250 , kg = raiz340 approx 18,44 , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o período ( T = 2piomega0 ) do oscilador sem amortecimento usando a fórmula:
T = 2pi18,44 approx 0,341 , s
Substituindo :

Passo 5

No sistema amortecido, a energia mecânica decai exponencialmente com o tempo. A equação para a energia em função do tempo é:
E(t) = E0 , e^-2gamma t
Onde gamma = b2m é a taxa de amortecimento, dada por:
gamma = 0,070 , kg/s2 times 0,250 , kg = 0,0700,500 = 0,140 , s^-1
Calculando :

Passo 6

Queremos encontrar o tempo 12 E0 = E0 , e^-2gamma t para que a energia caia para metade, ou seja, 12 = e^-2gamma t . Substituindo na equação da energia:
ln(12) = -2gamma t
Dividindo ambos os lados por t = ln(2)2gamma = 0,6932 times 0,140 approx 0,6930,280 approx 2,475 , s :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 7

Por fim, queremos saber quantos períodos são necessários para esse tempo. Sabemos que um período N = tT = 2,4750,341 approx 7,25 , então:
Arredondando, são necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.

Resposta

São necessários aproximadamente 7,5 períodos para que a energia mecânica caia à metade do seu valor inicial.

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