Na sua obra Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, Galileu Galilei cita a variação de tamanho aparente de Marte no céu como uma evidência de que os planetas não orbitavam a Terra:
Simplício: Mas quais são os indícios de que eles se movem em torno do Sol?
Salviati: Isso se conclui, para os três planetas superiores, Marte, Júpiter e Saturno, a partir de eles se encontrarem sempre muito próximos à Terra quando estão em oposição ao Sol, e muito distantes quando estão em conjunção; e estas aproximação e afastamento têm tanta importância que, quando Marte está próximo, vê-se 60 vezes maior que quando está afastadíssimo (MARICONDA, 2011, p. 404).
Com base nos dados disponíveis no trecho e sabendo que a razão apontada por Galileu refere-se à área aparente de Marte visto da Terra, assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do período de revolução de Marte ao redor do Sol em meses terrestres.
A ( ) 13 meses
B ( ) 18 meses
C ( ) 30 meses
D ( ) 42 meses
E ( ) 55 meses

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um trecho de Galileu Galilei onde ele fala sobre como o tamanho aparente de Marte varia quando observado da Terra. Isso sugere que os planetas orbitam o Sol e não a Terra. O conteúdo envolvido aqui é de astronomia, especificamente sobre movimentos planetários e como observações podem indicar esses movimentos. Para resolver o exercício, vamos precisar aplicar conceitos de órbita planetária e relações entre períodos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa a variação da área aparente de Marte. A área aparente está relacionada ao tamanho aparente, que por sua vez depende da distância entre Marte e a Terra. Quando Marte está em oposição, ele está mais próximo da Terra e, portanto, aparece maior. Quando está em conjunção, está mais distante e aparece menor. A razão da área aparente em oposição comparada à conjunção é de 60 vezes.

Passo 3

Sabemos que a área aparente ($ A A áâ d $) entre o observador e o objeto:
d
Dessa forma, se a área aparente de Marte varia em uma razão de 60, então a distância varia de forma inversa ao quadrado da raiz dessa razão:
A propto 1d^2 çãçãçãçã
AoposiçãoAconjunção = 1(doposiçãodconjunção)^2 = 60 çãçã
(dconjunçãodoposição)^2 = 60 çãçã

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa variação de distância com os períodos de revolução. Usamos a Lei das Áreas de Kepler, que nos diz que a linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Isso implica que o tempo que Marte leva para ir de oposição a conjunção está relacionado à variação da sua velocidade orbital.
Sabemos que a velocidade média orbital ($ v v éàí T $):
T

Passo 5

Considerando que a distância máxima ($ d_{conjunção} dconjunção í d_{oposição} $) está relacionada ao período orbital, podemos relacionar as velocidades nesses pontos:
doposição çãçãçãçã
Dado que a distância máxima é maior que a mínima, a velocidade na oposição será maior que na conjunção:
voposiçãovconjunção = raizTconjunçãoToposição çãçãçãçã
voposiçãovconjunção = dconjunçãodoposição approx 7,75 çãçã
7,75 = raizTconjunçãoToposição çãçã
(7,75)^2 = TconjunçãoToposição çãçã

Passo 6

Isso significa que o período de tempo que Marte leva para ir de oposição a conjunção é 60 vezes o período que leva para completar uma órbita completa ao redor do Sol. Portanto, o período de revolução de Marte ($ T $) está relacionado a esse fator multiplicativo.
Sabemos que a Terra leva 12 meses para orbitar o Sol. Então, podemos relacionar o período de Marte com o período da Terra:
T
TMarte = 60 times 12 meses
No entanto, esse valor é muito alto e não coincide com os dados reais. Isso indica que houve uma simplificação excessiva no modelo. Para uma melhor estimativa, consideramos que a razão da área está relacionada ao quadrado do período orbital.

Passo 7

Aplicando a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital ao semieixo maior da órbita:
T^2 propto a^3
Onde $ T $ é o período orbital e $ a $ é o semieixo maior da órbita.
Considerando que a Terra tem um período de 12 meses e Marte está a uma distância média maior, podemos usar a razão das áreas para estimar o aumento do período. Se a área varia em 60 vezes, assumimos que o período de Marte é proporcional à raiz cúbica de 60:
T
a
TMarte = 12 times raiz[3]60
Entre as opções apresentadas, a mais próxima desse valor é 42 meses.

Resposta

A melhor estimativa do período de revolução de Marte ao redor do Sol é 42 meses.

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