Usando o teorema dos eixos paralelos, calcule o momento de inércia de um aro de raio R e massa M em relação à um eixo perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um aro de raio R e massa M em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do aro e passa pela sua periferia. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa está afastada do eixo, maior é o momento de inércia.

Passo 3

O Teorema dos Eixos Paralelos nos ajuda a calcular o momento de inércia em um eixo que está paralelo a outro eixo que passa pelo centro de massa do objeto. A fórmula do teorema é:
I = Icentro + M d^2
Onde:
  • é o momento de inércia no novo eixo.
  • é o momento de inércia no eixo que passa pelo centro de massa.
  • é a massa do objeto.
  • é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Para um aro, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro é:
Icentro = M R^2
Isso porque toda a massa está a uma distância R do eixo central.

Passo 5

Agora, queremos o momento de inércia em relação a um eixo que está na periferia do aro. A distância d entre o eixo central e o eixo na periferia é igual ao raio R do aro.
Então, aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos, temos:
I = Icentro + M d^2 = M R^2 + M R^2 = 2 M R^2

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao eixo perpendicular passando pela sua periferia é:
I = 2 M R^2

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