Usando o teorema dos eixos paralelos, calcule o momento de inércia de um aro de raio R e massa M em relação à um eixo perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de um aro de raio R e massa M em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do aro e passa pela sua periferia. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa está afastada do eixo, maior é o momento de inércia.
Passo 3
O Teorema dos Eixos Paralelos nos ajuda a calcular o momento de inércia em um eixo que está paralelo a outro eixo que passa pelo centro de massa do objeto. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é o momento de inércia no novo eixo. -
é o momento de inércia no eixo que passa pelo centro de massa. -
é a massa do objeto. -
é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Para um aro, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro é:
Isso porque toda a massa está a uma distância R do eixo central.
Passo 5
Agora, queremos o momento de inércia em relação a um eixo que está na periferia do aro. A distância d entre o eixo central e o eixo na periferia é igual ao raio R do aro.
Então, aplicando o Teorema dos Eixos Paralelos, temos:
Resposta
O momento de inércia do aro em relação ao eixo perpendicular passando pela sua periferia é: