Obrigatória. Um pequeno bloco de massa
é colocado na borda interior de um funil invertido que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. As paredes do cone fazem um ângulo de
com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e cone é 0,6 . Para que o bloco não deslize em relação à parede do cone, qual deve ser a velocidade angular (rad/s) (a) mínima e (b) máxima do cone?
Passo 1
No enunciado, temos um bloco de massa
colocado na borda interior de um funil invertido que gira com velocidade angular constante. As paredes do cone fazem um ângulo de
com a vertical, e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o cone é
. Precisamos encontrar a velocidade angular mínima e máxima do cone para que o bloco não deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças centrífugas, decomposição de forças e atrito estático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam no bloco. Quando o funil gira, o bloco experimenta uma força centrífuga que o empurra para fora. Além disso, a gravidade puxa o bloco para baixo. A força de atrito estático entre o bloco e o cone deve equilibrar essas forças para que o bloco não deslize.
Passo 3
Vamos decompor a força centrífuga e a força gravitacional nas direções paralela e perpendicular às paredes do cone. O ângulo do cone é
, então temos:
-
Força centrífuga (
): Ondeé a massa, é a velocidade angular e é o raio. -
Componente perpendicular da força centrífuga:
-
Componente paralela da força centrífuga:
-
Força gravitacional (
): Ondeé a aceleração da gravidade ( ). -
Componente perpendicular da força gravitacional:
-
Componente paralela da força gravitacional:
Passo 4
A força de atrito estático máxima que pode atuar sobre o bloco é dada por:
Onde
é o coeficiente de atrito estático e
é a força normal.
A força normal
é a soma das componentes perpendiculares da força centrífuga e da força gravitacional:
Passo 5
Para que o bloco não deslize, a força de atrito deve ser igual à soma das forças paralelas:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
No entanto, isso indica uma condição para o atrito, mas precisamos relacionar diretamente
para encontrar as velocidades mínima e máxima.
Passo 7
Reorganizando a equação inicial para resolver
:
Dividindo por
e rearranjando:
Passo 8
Note que para haver uma solução real, o denominador não pode ser zero e o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Isso implica que existe uma faixa de velocidades angulares onde o bloco não desliza.
Passo 9
Finalmente, calculando
para os casos mínimo e máximo:
Resposta
A velocidade angular mínima do cone para que o bloco não deslize é
rad/s e a velocidade angular máxima é
rad/s.
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(b) Qual o trabalho resultante sobre o engradado?
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