Obrigatória. Um pequeno bloco de massa 1,4 Kg é colocado na borda interior de um funil invertido que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. As paredes do cone fazem um ângulo de 40^circ com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e cone é 0,6 . Para que o bloco não deslize em relação à parede do cone, qual deve ser a velocidade angular (rad/s) (a) mínima e (b) máxima do cone?

Passo 1

No enunciado, temos um bloco de massa colocado na borda interior de um funil invertido que gira com velocidade angular constante. As paredes do cone fazem um ângulo de com a vertical, e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o cone é . Precisamos encontrar a velocidade angular mínima e máxima do cone para que o bloco não deslize. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças centrífugas, decomposição de forças e atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no bloco. Quando o funil gira, o bloco experimenta uma força centrífuga que o empurra para fora. Além disso, a gravidade puxa o bloco para baixo. A força de atrito estático entre o bloco e o cone deve equilibrar essas forças para que o bloco não deslize.

Passo 3

Vamos decompor a força centrífuga e a força gravitacional nas direções paralela e perpendicular às paredes do cone. O ângulo do cone é Fc = m omega^2 r , então temos:
  • Força centrífuga ( Fcperp = Fc cos(40^circ) ):
    Fcparal<=l = Fc sin(40^circ)
    Onde Fg = m g é a massa, Fgperp = Fg cos(40^circ) é a velocidade angular e Fgparal<=l = Fg sin(40^circ) é o raio.
  • Componente perpendicular da força centrífuga:
  • Componente paralela da força centrífuga:
  • Força gravitacional ( ):
    Onde é a aceleração da gravidade ( ).
  • Componente perpendicular da força gravitacional:
  • Componente paralela da força gravitacional:

Passo 4

A força de atrito estático máxima que pode atuar sobre o bloco é dada por:
fmáx = mus N á
Onde N = Fcperp + Fgperp = m omega^2 r cos(40^circ) + m g cos(40^circ) é o coeficiente de atrito estático e é a força normal.
A força normal é a soma das componentes perpendiculares da força centrífuga e da força gravitacional:

Passo 5

Para que o bloco não deslize, a força de atrito deve ser igual à soma das forças paralelas:
fmáx >= Fcparal<=l + Fgparal<=l á
Substituindo:
mus (m omega^2 r cos(40^circ) + m g cos(40^circ)) >= m omega^2 r sin(40^circ) + m g sin(40^circ)

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por mus (omega^2 r + g) >= sin(40^circ)cos(40^circ) (omega^2 r + g) :
mus >= tan(40^circ)
No entanto, isso indica uma condição para o atrito, mas precisamos relacionar diretamente para encontrar as velocidades mínima e máxima.

Passo 7

Reorganizando a equação inicial para resolver mus m omega^2 r cos(40^circ) + mus m g cos(40^circ) = m omega^2 r sin(40^circ) + m g sin(40^circ) :
omega^2 r (mus cos(40^circ) - sin(40^circ)) = g (sin(40^circ) - mus cos(40^circ))
Dividindo por omega^2 = g (sin(40^circ) - mus cos(40^circ))r (mus cos(40^circ) - sin(40^circ)) e rearranjando:

Passo 8

Note que para haver uma solução real, o denominador não pode ser zero e o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Isso implica que existe uma faixa de velocidades angulares onde o bloco não desliza.

Passo 9

Finalmente, calculando omegamín = raizg (sin(40^circ) - mus cos(40^circ))r (mus cos(40^circ) - sin(40^circ)) para os casos mínimo e máximo:
omegamáx = raizg (sin(40^circ) + mus cos(40^circ))r (mus cos(40^circ) + sin(40^circ)) í
á

Resposta

A velocidade angular mínima do cone para que o bloco não deslize é í rad/s e a velocidade angular máxima é á rad/s.

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