Um observador mede uma intensidade de 1,13 W / m^2 a uma distância desconhecida de uma fonte de ondas esféricas, cuja potência de saída também é desconhecida. O observador caminha 5,30 m aproximando-se da fonte e mede uma intensidade de 2,41 W / m^2 em um novo local. Qual a potência de saída da fonte?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma fonte que emite ondas esféricas com potência desconhecida. Um observador mediu uma intensidade de a uma distância desconhecida dessa fonte. Depois, o observador se aproximou e mediu uma nova intensidade de . Nosso objetivo é descobrir qual é a potência de saída da fonte. Vamos usar conceitos de Intensidade de Ondas Sféricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que relaciona a intensidade I = P4pi r^2 de uma onda esférica com a potência da fonte e a distância :
Aqui:
  • é a intensidade da onda.
  • é a potência da fonte.
  • é a distância da fonte.

Passo 3

Temos duas medidas de intensidade em duas distâncias diferentes. Vamos chamar:
  • I1 = P4pi r^2 (1) na distância I2 = P4pi (r - 5,30)^2 (2) .
  • na distância .
Podemos escrever duas equações usando a fórmula da intensidade:

Passo 4

Vamos dividir a equação (2) pela equação (1) para eliminar I2I1 = P4pi (r - 5,30)^2P4pi r^2 = r^2(r - 5,30)^2 :
2,411,13 = r^2(r - 5,30)^2
Simplificando:

Passo 5

Calculando a razão:
2,411,13 approx 2,132
Então,
2,132 = r^2(r - 5,30)^2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar 2,132 times (r - 5,30)^2 = r^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2,132 times (r^2 - 10,6,r + 28,09) = r^2 :
2,132r^2 - 22,5952,r + 59,9428 = r^2
Expandindo :
Distribuindo o 2,132:

Passo 7

Trazemos todos os termos para um lado da equação:
2,132r^2 - r^2 - 22,5952,r + 59,9428 = 0
Simplificando:
1,132r^2 - 22,5952,r + 59,9428 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma r = -b pm raizb^2 - 4ac2a , onde:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar :

Passo 9

Calculando o discriminante ( Δ = b^2 - 4ac = (-22,5952)^2 - 4 times 1,132 times 59,9428 ):
Δ = 510,7642 - 270,9557 approx 239,8085
Como , temos duas soluções reais.

Passo 10

Calculando as raízes:
r = 22,5952 pm raiz239,80852 times 1,132
r = 22,5952 pm 15,48632,264
Calculando para o sinal positivo:
r = 22,5952 + 15,48632,264 approx 38,08152,264 approx 16,811 , m
Calculando para o sinal negativo:
r = 22,5952 - 15,48632,264 approx 7,10892,264 approx 3,137 , m

Passo 11

Vamos analisar as soluções:
  • Se , então a distância após aproximar-se seria .
  • Se , a distância após aproximar-se seria , o que não faz sentido físico.
Portanto, descartamos e consideramos .

Passo 12

Agora, vamos encontrar a potência I1 = P4pi r^2 usando a equação (1):
P = I1 times 4pi r^2
Isolando P = 1,13 times 4 times pi times (16,811)^2 :
Substituindo os valores:

Passo 13

Calculando os valores:
P = 1,13 times 4 times 3,1416 times 282,129 approx 1,13 times 12,5664 times 282,129 approx 1,13 times 3550,475 approx 4006,04 , W

Resposta

A potência de saída da fonte é aproximadamente .

Exercícios relacionados