Uma onda senoidal contínua viaja em uma corda com velocidade de 82,6 cm / s. O deslocamento das partículas da corda em x=9,60 cm varia com o tempo de acordo com a equação y=(5,12 cm) sen[(1,16 rad)-(4,08 rad / s) t]. A massa específica linear da corda é de 3,86 g / cm. (a) Qual a freqüência da onda? (b) Qual o comprimento de onda? © Que equação geral fornece os deslocamentos transversais das partículas da corda como uma função da posição e do tempo? (d) Qual a intensidade da força de tração na corda?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda senoidal que está viajando numa corda com uma velocidade de . A equação que descreve o deslocamento das partículas da corda no ponto é . A massa específica linear da corda é . Vamos resolver cada parte da questão passo a passo, usando conceitos de ondas senoidais, como frequência, comprimento de onda e equações gerais das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência da onda, que é o que a parte (a) está pedindo. Na equação da onda dada, o termo que multiplica o tempo omega = 2pi f dentro do seno é a velocidade angular f = omega2pi . Sabemos que a relação entre a frequência e a velocidade angular é:
Aqui, . Então, vamos rearranjar a equação para encontrar :

Passo 3

Substituindo f = 4,082pi approx 4,086,2832 approx 0,65 , Hz na equação:
Então, a frequência da onda é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), que pede o comprimento de onda v = f cdot lambda . Sabemos que a velocidade da onda lambda = vf está relacionada com a frequência e o comprimento de onda pela fórmula:
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:

Passo 5

Substituindo os valores que já temos:
v = 82,6 , cm/s, f = 0,65 , Hz
Então,
lambda = 82,60,65 approx 127,08 , cm
Portanto, o comprimento de onda é aproximadamente .

Passo 6

Para a parte ©, precisamos encontrar a equação geral que descreve o deslocamento y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t + phi) em função da posição e do tempo . A forma geral de uma onda senoidal viajando na direção positiva de é:
Onde:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a velocidade angular,
  • é a fase inicial.

Passo 7

Já temos na equação dada:
y = 5,12 , cm cdot sin(1,16 , rad - 4,08 , rad/s cdot t)
Comparando com a forma geral, identificamos:
  • k = 2pilambda = 2pi127,08 approx 0,0495 , rad/cm
Além disso, do comprimento de onda que encontramos , podemos calcular o número de onda :

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na equação geral:
y(x, t) = 5,12 , cm cdot sin(0,0495 , x - 4,08 , t + 1,16)
Essa é a equação que descreve o deslocamento transversal das partículas da corda em função de e .

Passo 9

Por fim, para a parte (d), queremos encontrar a intensidade da força de tração na corda. A intensidade de uma onda em uma corda é dada por:
I = 12 mu v omega^2 A^2
Onde:
  • é a massa específica linear,
  • é a velocidade da onda,
  • é a velocidade angular,
  • é a amplitude.

Passo 10

Vamos primeiro converter a massa específica linear para kg/m, já que a intensidade geralmente é expressa em unidades do Sistema Internacional. Mas como todas as unidades estão em cm e g, podemos manter assim:
mu = 3,86 , g/cm = 386 , g/m = 0,386 , kg/m
Agora, usando os valores:
I = 12 times 0,386 , kg/m times 0,826 , m/s times (4,08 , rad/s)^2 times (0,0512 , m)^2
Note que converti cm para m para consistência nas unidades.

Passo 11

Calculando passo a passo:
(4,08)^2 = 16,6464 , rad^2/s^2
(0,0512)^2 = 0,00262144 , m^2
I = 0,5 times 0,386 times 0,826 times 16,6464 times 0,00262144
I approx 0,5 times 0,386 times 0,826 times 16,6464 times 0,00262144 approx 0,0089 , W/m

Resposta

(a) A frequência da onda é aproximadamente y(x, t) = 5,12 , cm cdot sin(0,0495 , x - 4,08 , t + 1,16) .
(b) O comprimento de onda é aproximadamente .
© A equação geral que descreve o deslocamento transversal das partículas da corda é:
(d) A intensidade da força de tração na corda é aproximadamente .

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