Uma onda senoidal contínua viaja em uma corda com velocidade de
. O deslocamento das partículas da corda em
varia com o tempo de acordo com a equação
. A massa específica linear da corda é de
. (a) Qual a freqüência da onda? (b) Qual o comprimento de onda? © Que equação geral fornece os deslocamentos transversais das partículas da corda como uma função da posição e do tempo? (d) Qual a intensidade da força de tração na corda?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda senoidal que está viajando numa corda com uma velocidade de
. A equação que descreve o deslocamento das partículas da corda no ponto
é
. A massa específica linear da corda é
. Vamos resolver cada parte da questão passo a passo, usando conceitos de ondas senoidais, como frequência, comprimento de onda e equações gerais das ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência da onda, que é o que a parte (a) está pedindo. Na equação da onda dada, o termo que multiplica o tempo
dentro do seno é a velocidade angular
. Sabemos que a relação entre a frequência
e a velocidade angular
é:
Aqui,
. Então, vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Passo 3
Substituindo
na equação:
Então, a frequência da onda é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), que pede o comprimento de onda
. Sabemos que a velocidade da onda
está relacionada com a frequência
e o comprimento de onda
pela fórmula:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Passo 5
Substituindo os valores que já temos:
Então,
Portanto, o comprimento de onda é aproximadamente
.
Passo 6
Para a parte ©, precisamos encontrar a equação geral que descreve o deslocamento
em função da posição
e do tempo
. A forma geral de uma onda senoidal viajando na direção positiva de
é:
Onde:
-
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a velocidade angular, -
é a fase inicial.
Passo 7
Já temos na equação dada:
Comparando com a forma geral, identificamos:
Além disso, do comprimento de onda
que encontramos
, podemos calcular o número de onda
:
Passo 8
Agora, substituímos todos os valores na equação geral:
Essa é a equação que descreve o deslocamento transversal das partículas da corda em função de
e
.
Passo 9
Por fim, para a parte (d), queremos encontrar a intensidade da força de tração na corda. A intensidade de uma onda em uma corda é dada por:
Onde:
-
é a massa específica linear, -
é a velocidade da onda, -
é a velocidade angular, -
é a amplitude.
Passo 10
Vamos primeiro converter a massa específica linear para kg/m, já que a intensidade geralmente é expressa em unidades do Sistema Internacional. Mas como todas as unidades estão em cm e g, podemos manter assim:
Agora, usando os valores:
Note que converti cm para m para consistência nas unidades.
Passo 11
Calculando passo a passo:
Resposta
(a) A frequência da onda é aproximadamente
.
(b) O comprimento de onda é aproximadamente
.
© A equação geral que descreve o deslocamento transversal das partículas da corda é:
(d) A intensidade da força de tração na corda é aproximadamente
.
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