Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
v1=(-1,2,4) e v2=(5,-10,-20);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar por que os conjuntos de vetores dados são linearmente dependentes. Estamos falando de álgebra linear, e para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e o que significa os vetores serem dependentes ou independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Dois vetores são linearmente dependentes se um deles for múltiplo do outro. Ou seja, se você conseguir multiplicar um vetor por um número (escalar) e chegar no outro vetor, então eles são dependentes.

Passo 3

Vamos analisar os vetores que temos:
v1=(-1, 2, 4) e v2=(5, -10, -20)
Queremos ver se existe um número v2 = k cdot v1 tal que:

Passo 4

Vamos encontrar esse 5 = k cdot (-1) implies k = -5 comparando os componentes correspondentes dos vetores:
-10 = k cdot 2 implies -10 = (-5) cdot 2 implies -10 = -10 OK
Vejamos se esse valor de -20 = k cdot 4 implies -20 = (-5) cdot 4 implies -20 = -20 OK funciona para os outros componentes:

Passo 5

Como encontramos um valor de que satisfaz todas as componentes, isso significa que é um múltiplo de . Logo, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, os conjuntos de vetores são linearmente dependentes porque é igual a vezes , ou seja, .

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