Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar por que os conjuntos de vetores dados são linearmente dependentes. Estamos falando de álgebra linear, e para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e o que significa os vetores serem dependentes ou independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Dois vetores são linearmente dependentes se um deles for múltiplo do outro. Ou seja, se você conseguir multiplicar um vetor por um número (escalar) e chegar no outro vetor, então eles são dependentes.
Passo 3
Vamos analisar os vetores que temos:
Queremos ver se existe um número
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar esse
comparando os componentes correspondentes dos vetores:
Vejamos se esse valor de
funciona para os outros componentes:
Passo 5
Como encontramos um valor de
que satisfaz todas as componentes, isso significa que
é um múltiplo de
. Logo, os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, os conjuntos de vetores são linearmente dependentes porque
é igual a
vezes
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) .
(a)
Determinar, se possível, a matriz inversa das matrizes dadas.
Dadas as matrizes
e
:
calcular
calcular
Sejam
e
bases ordenadas de
.
(b) Seja . Determine:
e
.
(b) Seja