Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto é um subespaço vetorial de . Especificamente, estamos olhando para o conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e checar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é chamado de subespaço vetorial de se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real (escalar), o vetor resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a .
No conjunto , o primeiro componente deve ser um inteiro ( ). No vetor zero, , que é um inteiro. Portanto, o vetor zero está em . Bom, essa primeira condição está ok.

Passo 4

2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que e são inteiros.
Se somarmos esses dois vetores, teremos .
O primeiro componente dessa soma é . Como a soma de dois inteiros também é um inteiro, pertence a . Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer em e multiplicá-lo por um escalar . O resultado será .
Olhemos o primeiro componente, . Sabemos que é um inteiro, mas se não for inteiro, pode não ser inteiro. Por exemplo, se e , então , que ainda é um inteiro. Mas se e , então , que não é um inteiro.
Isso significa que pode ter um primeiro componente que não é inteiro, o que faz com que não esteja em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Determinar, se possível, a matriz inversa das matrizes dadas.
Sendo uma matriz quadrada de ordem , diz-se que é antissimétrica se . Verifique que a matriz dada a seguir é antissimétrica. Posteriormente, a partir desta verificação, indique quais as características que uma matriz deve ter para ser antissimétrica.
Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
e ;
Dadas as matrizes e :
calcular