Quais dos seguintes conjuntos
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto
é um subespaço vetorial de
. Especificamente, estamos olhando para o conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e checar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é chamado de subespaço vetorial de
se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em
por um número real (escalar), o vetor resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
.
No conjunto
, o primeiro componente
deve ser um inteiro (
). No vetor zero,
, que é um inteiro. Portanto, o vetor zero está em
. Bom, essa primeira condição está ok.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Isso significa que
e
são inteiros.
Se somarmos esses dois vetores, teremos
.
O primeiro componente dessa soma é
. Como a soma de dois inteiros também é um inteiro,
pertence a
. Portanto,
está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer
em
e multiplicá-lo por um escalar
. O resultado será
.
Olhemos o primeiro componente,
. Sabemos que
é um inteiro, mas se
não for inteiro,
pode não ser inteiro. Por exemplo, se
e
, então
, que ainda é um inteiro. Mas se
e
, então
, que não é um inteiro.
Isso significa que
pode ter um primeiro componente que não é inteiro, o que faz com que
não esteja em
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado sob multiplicação por escalar.