Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um certo conjunto é um subespaço vetorial de . Especificamente, estamos olhando para o conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e checar se atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é chamado de subespaço vetorial de se ele satisfaz três condições básicas:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real (escalar), o vetor resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a .
No conjunto , o primeiro componente deve ser um inteiro (). No vetor zero, , que é um inteiro. Portanto, o vetor zero está em . Bom, essa primeira condição está ok.
Passo 4
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que e são inteiros.
Se somarmos esses dois vetores, teremos .
O primeiro componente dessa soma é . Como a soma de dois inteiros também é um inteiro, pertence a . Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer em e multiplicá-lo por um escalar . O resultado será .
Olhemos o primeiro componente, . Sabemos que é um inteiro, mas se não for inteiro, pode não ser inteiro. Por exemplo, se e , então , que ainda é um inteiro. Mas se e , então , que não é um inteiro.
Isso significa que pode ter um primeiro componente que não é inteiro, o que faz com que não esteja em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado sob multiplicação por escalar.