O sistema de equaçōes lineares Ym times 1=Am times x cdot Xn 11, no qual Ym times 1 é conhecido, tem soluçăo Xn times 1=Mn times m cdot Ym times 1, uma vez determinada a matriz M, dada por
(A) A^-1
(B) A^top
© (A^top cdot A) cdot A^-1
(D) (A^top cdot A)^-1 cdot A^top
(E) (A^top cdot A)^top cdot A^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de equações lineares representado por matrizes. A gente tem:
Ym times 1 = Am times n cdot Xn times 1
Aqui, Xn times 1 = Mn times m cdot Ym times 1 é conhecido e queremos encontrar . Para isso, precisamos determinar a matriz tal que:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes e transpostas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver o sistema A^-1 cdot Y = A^-1 cdot A cdot X implies X = A^-1 cdot Y , a gente normalmente multiplica ambos os lados por uma matriz que “desfaça” a multiplicação por . Se for uma matriz quadrada e inversível, podemos multiplicar por :
Nesse caso, a matriz seria , que é a opção (A).

Passo 3

Mas e se M = (A^top cdot A)^-1 cdot A^top não for quadrada ou não for inversível? Aí a gente usa o que chamamos de pseudo-inversa de Moore-Penrose. A fórmula para a pseudo-inversa é:
Essa expressão envolve a transposta de , multiplicada por , invertida, e depois multiplicada pela transposta de novamente. Isso nos dá uma solução que funciona mesmo quando não é inversível.

Passo 4

Agora, vamos comparar essa expressão com as opções dadas:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
A expressão que encontramos para a pseudo-inversa é exatamente a opção (D).

Resposta

A matriz M = (A^top cdot A)^-1 cdot A^top é dada por:
Portanto, a resposta correta é a opção (D).

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As tensões principais atuantes em um ponto material de uma estrutura podem ser determinadas pela solução do problema de autovalor, expresso por (sigma-sigma I) lambda=0, onde sigma é o tensor das tensōes, ô é uma tensão principal, I é a matriz identidade e lambda é um vetor com os cossenos diretores. Os valores de sigma, em MPa, referentes ao tensor sigma=[ll1 & 2 2 & 1] MPa valem
(A) 1 e -3
(B) -1 e -3
© 2 e -1
(D) 3 e -1
(E) 3 e 1
Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[l y1 y2 y3 ]=[lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 ][l x1 x2 x3 ]
Sua matriz é simétrica e tem solução se:
(A) a equação característica da matriz for nula.
(B) a equação caracteristica da matriz for positiva.
© os autovetores da matriz forem todos positivos.
(D) o determinante da matriz for nulo.
(E) os autovalores da matriz forem todos positivos.
Supondo B=[ll1 & 3 2 & 7], através da definição de matriz inversa, determinar:
(B^t)^-1;
Determinar a extremidade do scgmento que representa o vetor v=(2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3).