O sistema de equaçōes lineares Ym times 1=Am times x cdot Xn 11, no qual Ym times 1 é conhecido, tem soluçăo Xn times 1=Mn times m cdot Ym times 1, uma vez determinada a matriz M, dada por
(A) A^-1
(B) A^top
© (A^top cdot A) cdot A^-1
(D) (A^top cdot A)^-1 cdot A^top
(E) (A^top cdot A)^top cdot A^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de equações lineares representado por matrizes. A gente tem:
Ym times 1 = Am times n cdot Xn times 1
Aqui, Xn times 1 = Mn times m cdot Ym times 1 é conhecido e queremos encontrar . Para isso, precisamos determinar a matriz tal que:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre inversas de matrizes e transpostas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver o sistema A^-1 cdot Y = A^-1 cdot A cdot X implies X = A^-1 cdot Y , a gente normalmente multiplica ambos os lados por uma matriz que “desfaça” a multiplicação por . Se for uma matriz quadrada e inversível, podemos multiplicar por :
Nesse caso, a matriz seria , que é a opção (A).

Passo 3

Mas e se M = (A^top cdot A)^-1 cdot A^top não for quadrada ou não for inversível? Aí a gente usa o que chamamos de pseudo-inversa de Moore-Penrose. A fórmula para a pseudo-inversa é:
Essa expressão envolve a transposta de , multiplicada por , invertida, e depois multiplicada pela transposta de novamente. Isso nos dá uma solução que funciona mesmo quando não é inversível.

Passo 4

Agora, vamos comparar essa expressão com as opções dadas:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
A expressão que encontramos para a pseudo-inversa é exatamente a opção (D).

Resposta

A matriz M = (A^top cdot A)^-1 cdot A^top é dada por:
Portanto, a resposta correta é a opção (D).

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