Obtenha uma aproximação quadrática para o potencial de Len-nard-Jones nas vizinhanças de r=r0; ou seja, calcule o polinômio de Taylor de 2^circ grau da função U(r), na variável x=r-r0,
U(r) approx U0+A(r-r0)^2
obtendo os valores das constantes U0 e A (em termos de epsilon e r0 );

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática para o potencial de Lennard-Jones perto de . Isso significa que vamos usar um polinômio de Taylor de segundo grau para a função , em termos de . Para isso, vamos calcular as constantes e usando e . Vamos precisar lembrar de como funciona a expansão de Taylor e a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a expansão de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função perto de um ponto específico usando polinômios. No nosso caso, queremos aproximar U(r) approx U0 + A (r - r0)^2 perto de usando um polinômio de segundo grau:
Aqui, é o valor da função em e está relacionado à curvatura da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular U(r) = 4epsilon [ ( r0r )^12 - ( r0r )^6 ] , que é simplesmente o valor da função U0 = 4epsilon [ ( r0r0 )^12 - ( r0r0 )^6 ] = 4epsilon (1 - 1) = 0 quando . A função de Lennard-Jones é dada por:
Então, substituindo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a constante U'(r) = dUdr = 4epsilon [ -12 ( r0r )^12 1r + 6 ( r0r )^6 1r ] . Para isso, precisamos da segunda derivada de U'(r) = 4epsilonr [ -12 ( r0r )^12 + 6 ( r0r )^6 ] em U'(r0) = 4epsilonr0 [ -12 + 6 ] = 4epsilonr0 (-6) = -24epsilonr0 . Mas primeiro, vamos calcular a primeira derivada :
Simplificando:
Em :
Mas, como é o ponto de equilíbrio, sabemos que . Isso confirma que estamos no ponto certo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada U''(r) = d^2Udr^2 = ddr ( 4epsilonr [ -12 ( r0r )^12 + 6 ( r0r )^6 ] ) :
U''(r) = 4epsilonr^2 [ 144 ( r0r )^12 - 36 ( r0r )^6 ]
Isso vai dar:
U''(r0) = 4epsilonr0^2 (144 - 36) = 4epsilonr0^2 times 108 = 432epsilonr0^2
Em A = U''(r0)2 = 432epsilon2 r0^2 = 216epsilonr0^2 :
Então, a constante é metade dessa segunda derivada:

Resposta

A aproximação quadrática do potencial de Lennard-Jones perto de U(r) approx 0 + 216epsilonr0^2 (r - r0)^2 é dada por:
U0 = 0 e A = 216epsilonr0^2
Portanto, as constantes são:

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