Obtenha uma aproximação quadrática para o potencial de Len-nard-Jones nas vizinhanças de ; ou seja, calcule o polinômio de Taylor de grau da função , na variável ,
obtendo os valores das constantes e (em termos de e );

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática para o potencial de Lennard-Jones perto de . Isso significa que vamos usar um polinômio de Taylor de segundo grau para a função , em termos de . Para isso, vamos calcular as constantes e usando e . Vamos precisar lembrar de como funciona a expansão de Taylor e a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a expansão de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função perto de um ponto específico usando polinômios. No nosso caso, queremos aproximar perto de usando um polinômio de segundo grau:
Aqui, é o valor da função em e está relacionado à curvatura da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular , que é simplesmente o valor da função quando . A função de Lennard-Jones é dada por:
Então, substituindo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a constante . Para isso, precisamos da segunda derivada de em . Mas primeiro, vamos calcular a primeira derivada :
Simplificando:
Em :
Mas, como é o ponto de equilíbrio, sabemos que . Isso confirma que estamos no ponto certo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Isso vai dar:
Em :
Então, a constante é metade dessa segunda derivada:

Resposta

A aproximação quadrática do potencial de Lennard-Jones perto de é dada por:
Portanto, as constantes são:

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