Obtenha uma aproximação quadrática para o potencial de Len-nard-Jones nas vizinhanças de
; ou seja, calcule o polinômio de Taylor de
grau da função
, na variável
,
obtendo os valores das constantes
e
(em termos de
e
);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática para o potencial de Lennard-Jones perto de
. Isso significa que vamos usar um polinômio de Taylor de segundo grau para a função
, em termos de
. Para isso, vamos calcular as constantes
e
usando
e
. Vamos precisar lembrar de como funciona a expansão de Taylor e a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a expansão de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função perto de um ponto específico usando polinômios. No nosso caso, queremos aproximar
perto de
usando um polinômio de segundo grau:
Aqui,
é o valor da função em
e
está relacionado à curvatura da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular
, que é simplesmente o valor da função
quando
. A função de Lennard-Jones é dada por:
Então, substituindo
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a constante
. Para isso, precisamos da segunda derivada de
em
. Mas primeiro, vamos calcular a primeira derivada
:
Simplificando:
Em
:
Mas, como
é o ponto de equilíbrio, sabemos que
. Isso confirma que estamos no ponto certo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Isso vai dar:
Em
:
Então, a constante
é metade dessa segunda derivada:
Resposta
A aproximação quadrática do potencial de Lennard-Jones perto de
é dada por:
Portanto, as constantes são:
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.
velocidade do carro caiu para
Dados
. Encontre
e