Sejam subconjuntos L.I. do espaço vetorial .
(a) Se , prove que é L.I. .
(b) Se cada tem elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente com para cada .
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que seja uma base de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três partes aqui, todas relacionadas a subconjuntos linearmente independentes (L.I.) em um espaço vetorial . No item (a), vamos mostrar que a união desses subconjuntos também é L.I. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como a inclusão de subconjuntos pode ajudar.

Passo 2

Primeiro, lembra que um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores diferentes de zero resulta no vetor nulo. Ou seja, se implica que todos os coeficientes .

Passo 3

Agora, dado que , cada conjunto é um subconjunto do próximo. E como cada é L.I., queremos provar que a união também é L.I.

Passo 4

Suponha que tenhamos uma combinação linear finita de vetores em que resulta em zero:
Cada pertence a algum . Como os conjuntos estão sendo incluídos sequencialmente, todos esses vetores estarão contidos em algum onde é o maior índice entre os .

Passo 5

Como é linearmente independente, a única solução para a combinação linear acima é que todos os coeficientes . Portanto, a união também é linearmente independente.

Passo 6

Vamos agora para o item (b). Aqui, cada subconjunto tem exatamente elementos. Precisamos construir um conjunto onde cada pertence a e é linearmente independente.

Passo 7

A ideia é selecionar um vetor de cada de forma que nenhum vetor novo introduza dependência linear no conjunto já construído. Como cada tem mais elementos conforme aumenta, sempre podemos escolher um vetor que não esteja na combinação linear dos anteriores.

Passo 8

Construímos da seguinte maneira:
  1. Escolha em .
  2. Escolha em que não seja múltiplo de .
  3. Continue esse processo, escolhendo em que não esteja na combinação linear dos .

Passo 9

Como cada tem elementos e os conjuntos estão sendo incluídos, sempre haverá pelo menos um vetor em que não está na combinação linear dos anteriores, garantindo que seja linearmente independente.

Passo 10

Finalmente, vamos para o item ©. Aqui, o espaço vetorial é , que é o espaço das sequências reais de dimensão infinita com apenas um número finito de entradas não nulas. Queremos saber se pode ser uma base para .

Passo 11

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Já sabemos que é linearmente independente, mas precisamos verificar se ele gera todo .

Passo 12

Para gerar , cada vetor padrão (com 1 na -ésima posição e 0 nas outras) deve estar no espaço gerado por . Contudo, como é a união de conjuntos finitos, não conseguimos garantir que todos os estejam incluídos ou sejam combináveis a partir de .

Passo 13

Portanto, não necessariamente contém todos os vetores necessários para formar uma base de . Faltaria a capacidade de gerar todos os vetores padrão, o que não é assegurado apenas pela união dos .

Resposta

Não, não é, em geral, uma base de .

Exercícios relacionados

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Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
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Teorema: Se é o ângulo entre os vetores , então prove que,