Sejam
subconjuntos L.I. do espaço vetorial
.
(a) Se
, prove que
é L.I. .
(b) Se cada
tem
elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente
com
para cada
.
© Supondo
e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que
seja uma base de
?
(a) Se
(b) Se cada
© Supondo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três partes aqui, todas relacionadas a subconjuntos linearmente independentes (L.I.) em um espaço vetorial
. No item (a), vamos mostrar que a união desses subconjuntos também é L.I. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como a inclusão de subconjuntos pode ajudar.
Passo 2
Primeiro, lembra que um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores diferentes de zero resulta no vetor nulo. Ou seja, se
implica que todos os coeficientes
.
Passo 3
Agora, dado que
, cada conjunto
é um subconjunto do próximo. E como cada
é L.I., queremos provar que a união
também é L.I.
Passo 4
Suponha que tenhamos uma combinação linear finita de vetores em
que resulta em zero:
Cada
pertence a algum
. Como os conjuntos estão sendo incluídos sequencialmente, todos esses vetores estarão contidos em algum
onde
é o maior índice entre os
.
Passo 5
Como
é linearmente independente, a única solução para a combinação linear acima é que todos os coeficientes
. Portanto, a união
também é linearmente independente.
Passo 6
Vamos agora para o item (b). Aqui, cada subconjunto
tem exatamente
elementos. Precisamos construir um conjunto
onde cada
pertence a
e
é linearmente independente.
Passo 7
A ideia é selecionar um vetor de cada
de forma que nenhum vetor novo introduza dependência linear no conjunto já construído. Como cada
tem mais elementos conforme
aumenta, sempre podemos escolher um vetor que não esteja na combinação linear dos anteriores.
Passo 8
Construímos
da seguinte maneira:
- Escolha
em . - Escolha
em que não seja múltiplo de . - Continue esse processo, escolhendo
em que não esteja na combinação linear dos .
Passo 9
Como cada
tem
elementos e os conjuntos estão sendo incluídos, sempre haverá pelo menos um vetor em
que não está na combinação linear dos anteriores, garantindo que
seja linearmente independente.
Passo 10
Finalmente, vamos para o item ©. Aqui, o espaço vetorial
é
, que é o espaço das sequências reais de dimensão infinita com apenas um número finito de entradas não nulas. Queremos saber se
pode ser uma base para
.
Passo 11
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Já sabemos que
é linearmente independente, mas precisamos verificar se ele gera todo
.
Passo 12
Para gerar
, cada vetor padrão
(com 1 na
-ésima posição e 0 nas outras) deve estar no espaço gerado por
. Contudo, como
é a união de conjuntos finitos, não conseguimos garantir que todos os
estejam incluídos ou sejam combináveis a partir de
.
Passo 13
Portanto,
não necessariamente contém todos os vetores necessários para formar uma base de
. Faltaria a capacidade de gerar todos os vetores padrão, o que não é assegurado apenas pela união dos
.
Resposta
Não,
não é, em geral, uma base de
.
Exercícios relacionados
Prove que
é um conjunto L.I. no espaço
. (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por
e prossiga.)
Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
Sejam
subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço
que contenha uma base de
, uma base de
e uma base de
.
Teorema: Se
é o ângulo entre os vetores
, então prove que,