(1,5 ponto) Considere f(x) = x^2 + 4x + 1. Se y = a x + b é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1)), determine o valor de 2a + b.
a) 13
b) 15
c) 16
d) 17
12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos achar a reta tangente a essa função no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das tangentes. Vamos precisar calcular a derivada de , avaliar ela em para achar o coeficiente angular da reta tangente, e depois encontrar o valor de na equação da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular para saber o ponto de tangência. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de para saber a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Essa derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Vamos avaliar a derivada em para achar o coeficiente angular :
Então, .

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto , então vamos usar a equação da reta para encontrar . Substituindo , e :

Resposta

O valor de é:
Portanto, a resposta correta não está listada nas opções fornecidas.

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