Verifique se cada um dos subconjuntos W de V é subespaço vetorial de V ?
W=p(x) in P2 / p(2)=0 V=P2

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Para verificar se é um subespaço, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em p(2) = 0 (Verdadeiro) . O vetor zero em é o polinômio . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se p(2) = 0 e q(2) = 0 é fechado sob adição. Isso significa que, se tomarmos dois polinômios quaisquer (p + q)(2) = p(2) + q(2) = 0 + 0 = 0 e em , a soma também deve estar em . Sabemos que:
Então,
Portanto, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se p(2) = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer polinômio (c cdot p)(2) = c cdot p(2) = c cdot 0 = 0 em e qualquer escalar , o polinômio também deve estar em . Sabemos que:
Então,
Portanto, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados