Obtenha a derivada das funções abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, vamos usar a Regra do Produto para derivar essa função que é a multiplicação de duas funções: e . Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
A Regra do Produto diz que se você tem uma função que é a multiplicação de duas funções, ou seja, , a derivada de é dada por:
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
  1. Derivando :
Isso porque a derivada de é 1, e a constante 2 fica multiplicando.
  1. Derivando :
    Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que serve para derivar funções compostas. A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 4

Agora vamos substituir essas derivadas na fórmula da Regra do Produto:
Vamos simplificar:
Podemos fatorar para deixar a expressão mais bonita:

Resposta

A derivada da função é:

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Obtenha a derivada das funções abaixo: ;
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Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem absolutamente, então converge.
Todo ponto ponto de máximo/mínimo é um ponto crítico? E a recíproca é válida? Justifique e exemplifique!