(Ponto extra) Usando as propriedades dos determinantes, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as propriedades dos determinantes para provar que o determinante da matriz inversa de
é igual a
. Ou seja, estamos lidando com determinantes de matrizes transpostas e inversas.
Passo 2
Primeiro, lembremos de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Ou seja,
e
Passo 3
Outra propriedade chave é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Assim,
Substituindo pelas propriedades da transposta que vimos:
Passo 4
Agora, vamos usar outra propriedade dos determinantes: o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja,
Substituindo o que encontramos no passo anterior:
Resposta
Portanto,