(Ponto extra) Usando as propriedades dos determinantes, demonstre que
det((B^t A^t)^-1)=1det(A) det(B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as propriedades dos determinantes para provar que o determinante da matriz inversa de é igual a . Ou seja, estamos lidando com determinantes de matrizes transpostas e inversas.

Passo 2

Primeiro, lembremos de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Ou seja,
det(B^t) = det(B)
e
det(A^t) = det(A)

Passo 3

Outra propriedade chave é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Assim,
det(B^t A^t) = det(B^t) cdot det(A^t)
Substituindo pelas propriedades da transposta que vimos:
det(B^t A^t) = det(B) cdot det(A) = det(A) det(B)

Passo 4

Agora, vamos usar outra propriedade dos determinantes: o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja,
det((B^t A^t)^-1) = 1det(B^t A^t)
Substituindo o que encontramos no passo anterior:
det((B^t A^t)^-1) = 1det(A) det(B)

Resposta

Portanto,
det((B^t A^t)^-1) = 1det(A) det(B)

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