Seja o espaço gerado pelos polinômios , e . Encontre uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do espaço , que é gerado pelos polinômios , , e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar uma base que os gere. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Considerando que os polinômios são de grau até 3, temos:
Cada vetor representa os coeficientes de , , e o termo constante, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos colocar esses vetores como colunas em uma matriz e realizar o escalonamento para verificar a rank da matriz (que nos dá a dimensão do espaço ):
Vamos aplicar operações de linha para simplificar a matriz.
Passo 4
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô e zerar os elementos abaixo dele:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira:
Subtrair a primeira linha da quarta:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos usar o segundo pivô (elemento da segunda linha, segunda coluna) para zerar os elementos acima e abaixo dele:
Subtrair a segunda linha da terceira:
Adicionar 3 vezes a segunda linha à quarta:
A matriz agora:
Por fim, vamos simplificar as últimas linhas:
Dividir a terceira linha por -8:
Subtrair 12 vezes a terceira linha da quarta:
A matriz está agora na forma escalonada:
Como temos 4 pivôs (não há colunas de zeros), a dimensão de é 4.
Resposta
Uma base para é formada por todos os quatro polinômios dados: