Seja W o espaço gerado pelos polinômios v1=t^3-2 t^2+4 t+1, v2=2 t^3-3 t^2+9 t-1, v3=t^3+6 t-5 e v4=2 t^3-5 t^2+7 t+5. Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do espaço W, que é gerado pelos polinômios v1=t^3-2 t^2+4 t+1, v2=2 t^3-3 t^2+9 t-1, v3=t^3+6 t-5 e v4=2 t^3-5 t^2+7 t+5. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar uma base que os gere. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Considerando que os polinômios são de grau até 3, temos:
v1 = 1 -2 4 1, v2 = 2 -3 9 -1, v3 = 1 0 6 -5, v4 = 2 -5 7 5
Cada vetor representa os coeficientes de t^3, t^2, t e o termo constante, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos colocar esses vetores como colunas em uma matriz e realizar o escalonamento para verificar a rank da matriz (que nos dá a dimensão do espaço W):
1 & 2 & 1 & 2 -2 & -3 & 0 & -5 4 & 9 & 6 & 7 1 & -1 & -5 & 5
Vamos aplicar operações de linha para simplificar a matriz.

Passo 4

Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô e zerar os elementos abaixo dele:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
R2' = R2 - 2R1 Rightarrow 0 & 1 & -2 & -9
  1. Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira:
R3' = R3 - 4R1 Rightarrow 0 & 1 & -10 & -1
  1. Subtrair a primeira linha da quarta:
R4' = R4 - R1 Rightarrow 0 & -3 & -6 & 3
A matriz fica assim:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & -2 & -9 0 & 1 & -10 & -1 0 & -3 & -6 & 3

Passo 5

Agora, vamos usar o segundo pivô (elemento da segunda linha, segunda coluna) para zerar os elementos acima e abaixo dele:
  1. Subtrair a segunda linha da terceira:
R3' = R3 - R2 Rightarrow 0 & 0 & -8 & 8
  1. Adicionar 3 vezes a segunda linha à quarta:
R4' = R4 + 3R2 Rightarrow 0 & 0 & -12 & -24
A matriz agora:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & -2 & -9 0 & 0 & -8 & 8 0 & 0 & -12 & -24
Por fim, vamos simplificar as últimas linhas:
  1. Dividir a terceira linha por -8:
R3' = 1-8R3 Rightarrow 0 & 0 & 1 & -1
  1. Subtrair 12 vezes a terceira linha da quarta:
R4' = R4 + 12R3 Rightarrow 0 & 0 & 0 & -36
A matriz está agora na forma escalonada:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & -2 & -9 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & -36
Como temos 4 pivôs (não há colunas de zeros), a dimensão de W é 4.

Resposta

Uma base para W é formada por todos os quatro polinômios dados:
v1, v2, v3, v4
E a dimensão de W é 4.

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