Seja o espaço gerado pelos polinômios , e . Encontre uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do espaço , que é gerado pelos polinômios , , e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar uma base que os gere. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Considerando que os polinômios são de grau até 3, temos:
Cada vetor representa os coeficientes de t^3, t^2, t e o termo constante, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos colocar esses vetores como colunas em uma matriz e realizar o escalonamento para verificar a rank da matriz (que nos dá a dimensão do espaço W):