Obtenha a medida angular em radianos entre a reta o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o ângulo, em radianos, entre uma reta e um plano. O conteúdo envolvido aqui é a geometria analítica, onde trabalhamos com vetores e ângulos entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre uma reta e um plano usando vetores diretores e o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta e o plano. A reta está dada por . Aqui, o vetor diretor da reta é .
Já o plano está definido pela equação . O vetor normal do plano, que é perpendicular ao plano, é .

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. A fórmula para o seno do ângulo entre a reta e o plano é:
Aqui, é o produto escalar entre os vetores, e e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Perceba que o produto escalar deu zero, o que significa que os vetores são perpendiculares. Mas, nesse caso, como o ângulo entre a reta e o plano está relacionado ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano, precisamos ajustar nossa interpretação.
Na verdade, quando , a reta é paralela ao plano. Então, o ângulo entre a reta e o plano é radianos.

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é radianos.

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação geral do plano que contém forma um ângulo com o plano .
Resolva as equações transformando-as em equações diferenciais separáveis através das seguintes substituições:
após resolver na variável retorne para as variáveis originais.
Encontre a derivada indicada.
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Encontre a derivada indicada.
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