Sendo A e B dois vetores quaisquer não paralelos, tal que, C=A times B. Mostre que: A cdot(B times C)=-B cdot(A times C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, A e B, que não são paralelos, e definiu C como o produto vetorial de A e B, ou seja, C = A times B. O objetivo aqui é mostrar que A cdot (B times C) = -B cdot (A times C). Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, lembro que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Já o produto escalar entre dois vetores nos dá um número que representa a “projeção” de um vetor sobre o outro.

Passo 3

Vamos analisar a expressão A cdot (B times C). Aqui, temos um produto escalar entre A e o produto vetorial B times C. Sabemos que esse tipo de expressão é chamado de “produto misto” e pode ser reescrito usando a propriedade cíclica do produto misto.

Passo 4

A propriedade cíclica do produto misto diz que:
A cdot (B times C) = B cdot (C times A) = C cdot (A times B)
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
A cdot (B times C) = C cdot (A times B)

Passo 5

Sabemos que C = A times B. Substituindo na equação acima:
A cdot (B times C) = (A times B) cdot (A times B)
Isso nos dá o produto escalar de C consigo mesmo, que é igual ao quadrado do módulo de C.

Passo 6

Agora, vamos analisar a outra parte da igualdade que precisamos mostrar: -B cdot (A times C). Usando novamente a propriedade cíclica do produto misto:
B cdot (A times C) = A cdot (C times B) = C cdot (B times A)
Como o produto vetorial é anti comutativo, B times A = -A times B, então:
C cdot (B times A) = C cdot (-A times B) = -C cdot (A times B)
Ou seja:
B cdot (A times C) = -A cdot (B times C)

Resposta

Portanto, conseguimos mostrar que A cdot (B times C) = -B cdot (A times C), usando as propriedades do produto vetorial e escalar, além da propriedade cíclica do produto misto.

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