Sendo
e
dois vetores quaisquer não paralelos, tal que,
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores,
e
, que não são paralelos, e definiu
como o produto vetorial de
e
, ou seja,
. O objetivo aqui é mostrar que
. Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Primeiro, lembro que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Já o produto escalar entre dois vetores nos dá um número que representa a “projeção” de um vetor sobre o outro.
Passo 3
Vamos analisar a expressão
. Aqui, temos um produto escalar entre
e o produto vetorial
. Sabemos que esse tipo de expressão é chamado de “produto misto” e pode ser reescrito usando a propriedade cíclica do produto misto.
Passo 4
A propriedade cíclica do produto misto diz que:
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo na equação acima:
Isso nos dá o produto escalar de
consigo mesmo, que é igual ao quadrado do módulo de
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a outra parte da igualdade que precisamos mostrar:
. Usando novamente a propriedade cíclica do produto misto:
Como o produto vetorial é anti comutativo,
, então:
Ou seja:
Resposta
Portanto, conseguimos mostrar que
, usando as propriedades do produto vetorial e escalar, além da propriedade cíclica do produto misto.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação geral do plano
descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos
e
.
(ii)
Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(b)
(b)
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
©
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