Sendo e dois vetores quaisquer não paralelos, tal que, . Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois vetores, e , que não são paralelos, e definiu como o produto vetorial de e , ou seja, . O objetivo aqui é mostrar que . Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, lembro que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Já o produto escalar entre dois vetores nos dá um número que representa a “projeção” de um vetor sobre o outro.

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Aqui, temos um produto escalar entre e o produto vetorial . Sabemos que esse tipo de expressão é chamado de “produto misto” e pode ser reescrito usando a propriedade cíclica do produto misto.

Passo 4

A propriedade cíclica do produto misto diz que:
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:

Passo 5

Sabemos que . Substituindo na equação acima:
Isso nos dá o produto escalar de consigo mesmo, que é igual ao quadrado do módulo de .

Passo 6

Agora, vamos analisar a outra parte da igualdade que precisamos mostrar: . Usando novamente a propriedade cíclica do produto misto:
Como o produto vetorial é anti comutativo, , então:
Ou seja:

Resposta

Portanto, conseguimos mostrar que , usando as propriedades do produto vetorial e escalar, além da propriedade cíclica do produto misto.

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação geral do plano descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos e .
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(b)
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
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