Obtenha uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo multivariável. Precisamos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para construir o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso vai nos dar a coordenada correspondente.
Então, o ponto completo no espaço é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Passo 7
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos usar o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais .
Então, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é dada por:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: