Obtenha uma equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) = x * y^3 + x^2 em (2, -2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo multivariável. Precisamos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para construir o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso vai nos dar a coordenada correspondente.
Então, o ponto completo no espaço é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar a equação do plano tangente:

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos usar o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais .
Então, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é dada por:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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