Um pesquisador chegou à uma conclusão de que a concentração Q de oxigenio em mg/l (miligramas por litro de oxigenio dissolvido) em uma amostra de água de um rio contaminado por rejeitos de uma mineradora é dada pela fórmula: Q=4,5.0,95^x, em que x representa o tempo em horas. Para determinar quanto tempo resta para que a concentração de oxigênio a nível crítico de 2 mg/l, o pesquisador precisa encontrar a solução da seguinte equação: 2=4,5.0,95^x, que pode ser simplificada da seguinte forma: 2,25/4,5=0,95^x -> 0,5=0,95^x. Para a determinação da solução da equação, o pesquisador irá utilizar uma calculadora que tem disponível apenas o cálculo do logaritmo na base dez. Assim, a solução de 0,5=0,95^x representada através do logaritmo na base dez é:
A) Log0,25/Logx
B) Logx/Log0,5
C) Log0,5/Log0,95
D) Log0,95/Logx
E) Log0,95/Log0,5
A) Log0,25/Logx
B) Logx/Log0,5
C) Log0,5/Log0,95
D) Log0,95/Logx
E) Log0,95/Log0,5
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que mostra como a concentração de oxigênio $ Q $ em mg/l muda com o tempo $ x $ em horas:
A gente quer descobrir quanto tempo falta para que a concentração chegue ao nível crítico de 2 mg/l. Para isso, precisamos resolver a equação:
Vamos usar logaritmos para resolver essa equação, já que a calculadora só tem logaritmo na base dez.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar o termo com o $ x $. Dividindo ambos os lados da equação por 4,5:
Simplificando a fração:
Mas para facilitar, podemos arredondar para:
Passo 3
Agora temos uma equação exponencial do tipo:
Para resolver para $ x $, usamos logaritmos. Tiramos o logaritmo dos dois lados:
Passo 4
Uma propriedade dos logaritmos diz que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 5
Para isolar o $ x $, dividimos ambos os lados por $ \log(0,95) $:
Resposta
A solução é:
Portanto, a alternativa correta é a C)