Sejam e w vetores de um espaço . Se é um conjunto , mostre que:
(a) é um conjunto .
(b) é um conjunto .
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos pede para verificar a independência linear e dependência linear de certos conjuntos de vetores. O conteúdo envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente e aplicar essa definição aos conjuntos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos , então .
Passo 3
Para a parte (a), queremos mostrar que o conjunto é linearmente independente. Vamos chamar esses vetores de e respectivamente.
Passo 4
Assumimos uma combinação linear igual a zero:
Expandindo, temos:
Passo 5
Como é um conjunto LI, os coeficientes de e devem ser zero. Então:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Então, e .
Passo 7
Como a única solução é , concluímos que o conjunto é linearmente independente.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos mostrar que o conjunto é linearmente dependente (LD).
Passo 9
Um conjunto é LD se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, existe pelo menos um conjunto de coeficientes , não todos zero, tais que:
Passo 10
Vamos expandir a combinação:
Passo 11
Como é LI, as equações resultantes são:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que pode ser qualquer valor, por exemplo, , então e .
Passo 13
Como existe uma solução não trivial (), o conjunto é linearmente dependente.