Sejam u, v e w vetores de um espaço V. Se u, v, w é um conjunto L I, mostre que:
(a) u+v-2 w, u-v-w, u+w é um conjunto L I.
(b) u+v-3 w, u+3 v-w, v+w é um conjunto L D.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para verificar a independência linear e dependência linear de certos conjuntos de vetores. O conteúdo envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente e aplicar essa definição aos conjuntos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos , então .

Passo 3

Para a parte (a), queremos mostrar que o conjunto é linearmente independente. Vamos chamar esses vetores de e respectivamente.

Passo 4

Assumimos uma combinação linear igual a zero:
k1(u+v-2w) + k2(u-v-w) + k3(u+w) = 0
Expandindo, temos:
(k1 + k2 + k3)u + (k1 - k2)v + (-2k1 - k2 + k3)w = 0

Passo 5

Como k1 + k2 + k3 = 0 k1 - k2 = 0 -2k1 - k2 + k3 = 0 é um conjunto LI, os coeficientes de e devem ser zero. Então:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, -2k1 - k1 - 2k1 = -5k1 = 0 Rightarrow k1 = 0 .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Como a única solução é , concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos mostrar que o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 9

Um conjunto é LD se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, existe pelo menos um conjunto de coeficientes k1(u+v-3w) + k2(u+3v-w) + k3(v+w) = 0 , não todos zero, tais que:

Passo 10

Vamos expandir a combinação:
(k1 + k2)u + (k1 + 3k2 + k3)v + (-3k1 - k2 + k3)w = 0

Passo 11

Como k1 + k2 = 0 k1 + 3k2 + k3 = 0 -3k1 - k2 + k3 = 0 é LI, as equações resultantes são:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, k1 + 3(-k1) + k3 = -2k1 + k3 = 0 Rightarrow k3 = 2k1 .
  2. Substituindo na segunda equação:
-3k1 - (-k1) + 2k1 = -3k1 + k1 + 2k1 = 0 Rightarrow 0 = 0
  1. Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que pode ser qualquer valor, por exemplo, , então e .

Passo 13

Como existe uma solução não trivial ( ), o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

(b) O conjunto é linearmente dependente.

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