Sejam e w vetores de um espaço . Se é um conjunto , mostre que:
(a) é um conjunto .
(b) é um conjunto .

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para verificar a independência linear e dependência linear de certos conjuntos de vetores. O conteúdo envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente e aplicar essa definição aos conjuntos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos , então .

Passo 3

Para a parte (a), queremos mostrar que o conjunto é linearmente independente. Vamos chamar esses vetores de e respectivamente.

Passo 4

Assumimos uma combinação linear igual a zero:
Expandindo, temos:

Passo 5

Como é um conjunto LI, os coeficientes de e devem ser zero. Então:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Como a única solução é , concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos mostrar que o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 9

Um conjunto é LD se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Ou seja, existe pelo menos um conjunto de coeficientes , não todos zero, tais que:

Passo 10

Vamos expandir a combinação:

Passo 11

Como é LI, as equações resultantes são:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que pode ser qualquer valor, por exemplo, , então e .

Passo 13

Como existe uma solução não trivial ( ), o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

(b) O conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Obtenha equações gerais para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo ao vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento , onde e .
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e .
Sejam e
um subespaço de . Quais dos vetores e estão em ?
Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos e , e concorrente com as retas re s, sendo
Sejam vetores de . Mostre que o conjunto é se, e somente se, .