Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto P0 da curva. r(t) = sen(t) i + cosh(t) j + arctg(t) k ; P0(0, 1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico da função vetorial no ponto . Para isso, vamos precisar entender como achar a reta tangente a uma curva no espaço usando cálculo vetorial. Basicamente, vamos encontrar o vetor posição no ponto e o vetor derivada nesse ponto, que vai nos dar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto . Temos que:
Portanto, precisamos resolver:
Sabemos que quando , e , e . Então, é o valor que queremos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente à curva:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada em para encontrar o vetor tangente no ponto P0:
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Agora, sabemos que a equação vetorial da reta tangente pode ser escrita como:
Onde e . Substituindo:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é .

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