Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico da função vetorial no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como achar a reta tangente a uma curva no espaço usando cálculo vetorial. Basicamente, vamos encontrar o vetor posição no ponto
e o vetor derivada nesse ponto, que vai nos dar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. Temos que:
Portanto, precisamos resolver:
Sabemos que quando
, e
, e . Então,
é o valor que queremos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada em
para encontrar o vetor tangente no ponto
:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 5
Agora, sabemos que a equação vetorial da reta tangente pode ser escrita como:
Onde
e
. Substituindo:
Resposta
A equação vetorial da reta tangente é
.
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a)
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a)
a)