Traçar o gráfico das seguintes equações polares:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente traçar o gráfico da equação polar . Isso envolve trabalhar com gráficos em coordenadas polares, onde a posição de um ponto é definida por (a distância ao polo) e (o ângulo em relação ao eixo positivo). Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações polares funcionam, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, temos uma função seno com um coeficiente multiplicador de , o que indica que a curva terá simetria relacionada ao número de vezes que a função seno completa um ciclo à medida que varia de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos identificar qual tipo de gráfico polar isso representa. Equações da forma geralmente resultam em flores, chamadas de “rosas”. O número determina o número de pétalas. Se for par, o gráfico terá pétalas. No nosso caso, , então esperamos pétalas.
Passo 4
Vamos considerar o sinal negativo na equação. O negativo faz com que o ponto seja plotado no sentido oposto ao ângulo . Isso pode inverter a direção das pétalas, mas como estamos lidando com simetria, o formato geral da rosa permanecerá o mesmo, apenas “virando” um pouco.
Passo 5
Para ter uma ideia mais precisa, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de :
Quando :
Quando :
Quando :
Quando :
Quando :
Esses pontos mostram como varia com , confirmando que teremos quatro pétalas distribuídas uniformemente ao redor do polo.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos desenhar a rosa com quatro pétalas, cada uma se estendendo até , distribuídas a cada radianos (ou 90 graus). Lembre-se de considerar o efeito do negativo, que faz com que as pétalas “se estendam” na direção oposta ao ângulo dado.
Resposta
O gráfico da equação polar é uma rosa com quatro pétalas, cada uma com comprimento máximo de 8 unidades, simetricamente distribuídas a cada 90 graus ao redor do polo.