Traçar o gráfico das seguintes equações polares:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente traçar o gráfico da equação polar . Isso envolve trabalhar com gráficos em coordenadas polares, onde a posição de um ponto é definida por
(a distância ao polo) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo). Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações polares funcionam, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, temos uma função seno com um coeficiente multiplicador de
, o que indica que a curva terá simetria relacionada ao número de vezes que a função seno completa um ciclo à medida que
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual tipo de gráfico polar isso representa. Equações da forma geralmente resultam em flores, chamadas de “rosas”. O número
determina o número de pétalas. Se
for par, o gráfico terá
pétalas. No nosso caso,
, então esperamos
pétalas.
Passo 4
Vamos considerar o sinal negativo na equação. O
negativo faz com que o ponto seja plotado no sentido oposto ao ângulo
. Isso pode inverter a direção das pétalas, mas como estamos lidando com simetria, o formato geral da rosa permanecerá o mesmo, apenas “virando” um pouco.
Passo 5
Para ter uma ideia mais precisa, vamos calcular alguns valores de
para diferentes valores de
:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Esses pontos mostram como
varia com
, confirmando que teremos quatro pétalas distribuídas uniformemente ao redor do polo.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos desenhar a rosa com quatro pétalas, cada uma se estendendo até
, distribuídas a cada
radianos (ou 90 graus). Lembre-se de considerar o efeito do
negativo, que faz com que as pétalas “se estendam” na direção oposta ao ângulo dado.
Resposta
O gráfico da equação polar é uma rosa com quatro pétalas, cada uma com comprimento máximo de 8 unidades, simetricamente distribuídas a cada 90 graus ao redor do polo.