Traçar o gráfico das seguintes equações polares:
a) r = -8 sen(2 θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente traçar o gráfico da equação polar . Isso envolve trabalhar com gráficos em coordenadas polares, onde a posição de um ponto é definida por (a distância ao polo) e (o ângulo em relação ao eixo positivo). Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações polares funcionam, especialmente aquelas envolvendo funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Aqui, temos uma função seno com um coeficiente multiplicador de , o que indica que a curva terá simetria relacionada ao número de vezes que a função seno completa um ciclo à medida que varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual tipo de gráfico polar isso representa. Equações da forma geralmente resultam em flores, chamadas de “rosas”. O número determina o número de pétalas. Se for par, o gráfico terá pétalas. No nosso caso, , então esperamos pétalas.

Passo 4

Vamos considerar o sinal negativo na equação. O negativo faz com que o ponto seja plotado no sentido oposto ao ângulo . Isso pode inverter a direção das pétalas, mas como estamos lidando com simetria, o formato geral da rosa permanecerá o mesmo, apenas “virando” um pouco.

Passo 5

Para ter uma ideia mais precisa, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Esses pontos mostram como varia com , confirmando que teremos quatro pétalas distribuídas uniformemente ao redor do polo.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos desenhar a rosa com quatro pétalas, cada uma se estendendo até , distribuídas a cada radianos (ou 90 graus). Lembre-se de considerar o efeito do negativo, que faz com que as pétalas “se estendam” na direção oposta ao ângulo dado.

Resposta

O gráfico da equação polar é uma rosa com quatro pétalas, cada uma com comprimento máximo de 8 unidades, simetricamente distribuídas a cada 90 graus ao redor do polo.

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