Então, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura varia no tempo e nas posições e num retângulo e . A matéria que vamos usar é a Equação de Calor em duas dimensões, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de três funções, cada uma dependendo de uma variável só:
Isso facilita a resolução porque transforma uma equação com múltiplas variáveis em equações mais simples.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma na equação de calor original:
Depois de substituir, ficamos com:
Passo 4
Vamos dividir todos os termos por para separar as variáveis:
Como cada lado depende de variáveis diferentes, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos .
Passo 5
Isso nos dá duas equações:
e
Vamos resolver a primeira equação para :
Passo 6
Agora, para a equação espacial, vamos separar as variáveis novamente. Assumimos que cada termo depende de uma única variável, então: