partial Tpartial t=alpha(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2), 00
com condições de contorno
& T(0, y, t)=T(a, y, t)=0, 00, & T(x, 0, t)=T(x, b, t)=0, 00,
e distribuição inicial de temperatura inicial
T(x, y, 0)=f(x, y), 0
(ii) Obter as soluções produto
Tm n(x, y, t)=Am n sen(m pi xa) sen(n pi yb) e^-alpha((m pia)^2+(n pib)^2)

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura varia no tempo e nas posições e num retângulo e . A matéria que vamos usar é a Equação de Calor em duas dimensões, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução T(x, y, t) = X(x) cdot Y(y) cdot Theta(t) pode ser escrita como o produto de três funções, cada uma dependendo de uma variável só:
Isso facilita a resolução porque transforma uma equação com múltiplas variáveis em equações mais simples.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma na equação de calor original:
partial Tpartial t = alpha ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 )
Depois de substituir, ficamos com:
X(x) Y(y) dThetadt = alpha ( Y(y) Theta(t) d^2 Xdx^2 + X(x) Theta(t) d^2 Ydy^2 )

Passo 4

Vamos dividir todos os termos por 1Theta(t) dThetadt = alpha ( 1X(x) d^2 Xdx^2 + 1Y(y) d^2 Ydy^2 ) para separar as variáveis:
Como cada lado depende de variáveis diferentes, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos .

Passo 5

Isso nos dá duas equações:
1Theta(t) dThetadt = -lambda
e
1X(x) d^2 Xdx^2 + 1Y(y) d^2 Ydy^2 = -lambda
Vamos resolver a primeira equação para dThetadt = -lambda Theta(t) implies Theta(t) = Theta0 e^-lambda t :

Passo 6

Agora, para a equação espacial, vamos separar as variáveis novamente. Assumimos que cada termo depende de uma única variável, então:
1X(x) d^2 Xdx^2 = -(mpia)^2 e 1Y(y) d^2 Ydy^2 = -(npib)^2
onde e são inteiros positivos.

Passo 7

Resolvendo essas equações diferenciais, obtemos:
X(x) = Am sin(mpi xa)
Y(y) = Bn sin(npi yb)
E combinando com Tmn(x, y, t) = Amn sin(mpi xa) sin(npi yb) e^-alpha((mpia)^2 + (npib)^2) t , a solução fica:

Resposta

A solução produto é:
Tmn(x, y, t) = Amn sin(mpi xa) sin(npi yb) e^-alpha((mpia)^2 + (npib)^2) t

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