com condições de contorno
e distribuição inicial de temperatura inicial
(ii) Obter as soluções produto
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura
varia no tempo
e nas posições
e
num retângulo
e
. A matéria que vamos usar é a Equação de Calor em duas dimensões, e para resolver isso, vamos precisar aplicar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de três funções, cada uma dependendo de uma variável só:
Isso facilita a resolução porque transforma uma equação com múltiplas variáveis em equações mais simples.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma na equação de calor original:
Depois de substituir, ficamos com:
Passo 4
Vamos dividir todos os termos por
para separar as variáveis:
Como cada lado depende de variáveis diferentes, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos
.
Passo 5
Isso nos dá duas equações:
e
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 6
Agora, para a equação espacial, vamos separar as variáveis novamente. Assumimos que cada termo depende de uma única variável, então:
onde
e
são inteiros positivos.
Passo 7
Resolvendo essas equações diferenciais, obtemos:
E combinando com
, a solução fica:
Resposta
A solução produto é: