Sejam as matrizes genéricas de tamanho no qual e não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador . Use a definição de produto matricial: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes quadradas e de tamanho . Ambas são não nulas e diagonais. O que precisamos mostrar é que o comutador , que é igual a , é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar a definição de produto de matrizes, que é:
Vamos seguir passo a passo para entender por que nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonal. Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para qualquer matriz diagonal , temos:
Isso simplifica bastante as contas, porque muitos termos serão zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o elemento usando a definição do produto de matrizes:
Como e são diagonais, isso significa que se e se . Portanto, a soma acima simplifica porque quase todos os termos são zero, exceto quando e .
Passo 4
Para que e não sejam zero simultaneamente, precisamos que e . Isso só é possível se . Então, para :
E para :
O mesmo raciocínio vale para , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comutador . Olhando para os elementos, temos: