Sejam as matrizes genéricas de tamanho
no qual
e
não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador
. Use a definição de produto matricial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes quadradas
e
de tamanho
. Ambas são não nulas e diagonais. O que precisamos mostrar é que o comutador
, que é igual a
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar a definição de produto de matrizes, que é:
Vamos seguir passo a passo para entender por que
nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonal. Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para qualquer matriz diagonal
, temos:
Isso simplifica bastante as contas, porque muitos termos serão zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o elemento
usando a definição do produto de matrizes:
Como
e
são diagonais, isso significa que
se
e
se
. Portanto, a soma acima simplifica porque quase todos os termos são zero, exceto quando
e
.
Passo 4
Para que
e
não sejam zero simultaneamente, precisamos que
e
. Isso só é possível se
. Então, para
:
E para
:
O mesmo raciocínio vale para
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comutador
. Olhando para os elementos, temos:
Para
:
E para
:
Portanto, todos os elementos de
são zero.
Resposta
O comutador
é igual a zero, ou seja,
.