Sejam as matrizes genéricas de tamanho n times n no qual A e B não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador [A, B]=AB-BA=0. Use a definição de produto matricial: (A B)i j=sumk ai k bk j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes quadradas (AB)ij = sumk aik bkj e de tamanho . Ambas são não nulas e diagonais. O que precisamos mostrar é que o comutador , que é igual a , é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar a definição de produto de matrizes, que é:
Vamos seguir passo a passo para entender por que nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonal. Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para qualquer matriz diagonal dij = 0 se i neq j , temos:
Isso simplifica bastante as contas, porque muitos termos serão zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o elemento (AB)ij = sumk=1^n aik bkj usando a definição do produto de matrizes:
Como e são diagonais, isso significa que se e se . Portanto, a soma acima simplifica porque quase todos os termos são zero, exceto quando e .

Passo 4

Para que (AB)ii = aii bii e (AB)ij = 0 não sejam zero simultaneamente, precisamos que (BA)ii = bii aii = aii bii e (BA)ij = 0 se i neq j e . Isso só é possível se . Então, para :
E para :
O mesmo raciocínio vale para , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador [A, B]ij = (AB)ij - (BA)ij . Olhando para os elementos, temos:
[A, B]ii = aii bii - aii bii = 0
Para [A, B]ij = 0 - 0 = 0 :
E para :
Portanto, todos os elementos de são zero.

Resposta

O comutador é igual a zero, ou seja, .

Exercícios relacionados