Obtenha equações paramétricas do plano pi que passa pelo ponto A=(1,1,2) e é paralelo ao plano pi1: X=(1,0,0)+alpha(1,2,-1)+beta(2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as equações paramétricas de um plano chamado pi que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano pi1 dado por:
pi1: X = (1, 0, 0) + alpha(1, 2, -1) + beta(2, 1, 0)
O que vamos precisar:
  • Entender como escrever equações paramétricas de um plano.
  • Saber o que significa dois planos serem paralelos.
  • Utilizar vetores diretores para definir a orientação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são escritas as equações paramétricas de um plano. Um plano pode ser definido por um ponto qualquer que esteja nele e por dois vetores diretores que indicam as direções presentes no plano. A forma geral é:
X = P + alpha u + beta v
Onde:
  • P é um ponto no plano.
  • u e v são os vetores diretores.
  • alpha e beta são parâmetros que variam livremente.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que o plano pi é paralelo ao plano pi1. Planos paralelos têm a mesma orientação, ou seja, os seus vetores diretores são proporcionais ou iguais.
No caso, o plano pi1 tem os vetores diretores (1, 2, -1) e (2, 1, 0). Para que pi seja paralelo a pi1, pi deve ter os mesmos vetores diretores.

Passo 4

Como queremos que o plano pi passe pelo ponto A = (1, 1, 2) e seja paralelo a pi1, basta usar o ponto A como P e manter os mesmos vetores diretores de pi1. Assim, as equações paramétricas de pi são:
pi: X = (1, 1, 2) + alpha (1, 2, -1) + beta (2, 1, 0)
Onde alpha e beta são parâmetros que variam livremente.

Resposta

As equações paramétricas do plano pi são:
pi: X = (1, 1, 2) + alpha, (1, 2, -1) + beta, (2, 1, 0)

Exercícios relacionados