Sejam e subespaços de . Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços e de um espaço vetorial . A tarefa é mostrar que a soma desses subespaços, denotada por , é igual ao subespaço gerado pela união deles, indicado por .
Para resolver isso, precisamos conhecer os conceitos de subespaço vetorial, soma de subespaços e geração de subespaços a partir de uma união. Vamos passo a passo entender e aplicar esses conceitos.

Passo 2

Subespaço Vetorial: Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se é um escalar e está em , então está em .
Soma de Subespaços ( ): É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Gerado pela União ( ): É o menor subespaço que contém todos os vetores de e . Isso significa que qualquer vetor neste subespaço pode ser obtido a partir de combinações lineares de vetores em .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que .
Primeiro, vamos provar que :
  • Tomemos qualquer vetor em . Por definição, existe e tais que .
  • Como está em e também está em , e é um subespaço, qualquer combinação linear deles, incluindo , está em .
  • Portanto, , o que mostra que .

Passo 4

Segundo, vamos provar que :
  • Por definição, é o menor subespaço que contém . Logo, todo vetor em pode ser expresso como uma combinação linear de vetores em .
  • Consideremos uma combinação linear qualquer:
onde cada está em ou em , e são escalares.
  • Podemos reorganizar os termos para agrupar os vetores de e :
onde e .
  • O primeiro grupo de termos está em e o segundo grupo está em , então é a soma de um vetor de e um vetor de , ou seja, .
  • Assim, qualquer vetor em também está em , o que mostra que .

Resposta

Comprovamos que , ou seja, a soma dos subespaços e é igual ao subespaço gerado pela união deles.

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