Sejam
e
subespaços de
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços
e
de um espaço vetorial
. A tarefa é mostrar que a soma desses subespaços, denotada por
, é igual ao subespaço gerado pela união deles, indicado por
.
Para resolver isso, precisamos conhecer os conceitos de subespaço vetorial, soma de subespaços e geração de subespaços a partir de uma união. Vamos passo a passo entender e aplicar esses conceitos.
Passo 2
Subespaço Vetorial: Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em . - Se
é um escalar e está em , então está em .
Soma de Subespaços (
): É o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
:
Gerado pela União (
): É o menor subespaço que contém todos os vetores de
e
. Isso significa que qualquer vetor neste subespaço pode ser obtido a partir de combinações lineares de vetores em
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
.
Primeiro, vamos provar que
:
- Tomemos qualquer vetor
em . Por definição, existe e tais que . - Como
está em e também está em , e é um subespaço, qualquer combinação linear deles, incluindo , está em . - Portanto,
, o que mostra que .
Passo 4
Segundo, vamos provar que
:
- Por definição,
é o menor subespaço que contém . Logo, todo vetor em pode ser expresso como uma combinação linear de vetores em . - Consideremos uma combinação linear qualquer:
onde cada
está em
ou em
, e
são escalares.
- Podemos reorganizar os termos para agrupar os vetores de
e :
onde
e
.
- O primeiro grupo de termos está em
e o segundo grupo está em , então é a soma de um vetor de e um vetor de , ou seja, . - Assim, qualquer vetor em
também está em , o que mostra que .
Resposta
Comprovamos que
, ou seja, a soma dos subespaços
e
é igual ao subespaço gerado pela união deles.
Exercícios relacionados
Obtenha equações paramétricas do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Seja
e
. Encontre uma base de
. Pode-se estender esta base para uma base de
? Por quê? Em caso afirmativo encontre a base de
.
Considere as matrizes
e
com respectivas ordens:
e
. Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(d) .
(d)
Toda elipse admite duas cordas focais de comprimento mínimo e cada uma delas é chamada de latus rectum. Determine fórmula para o comprimento de um latus rectum de
(com
.