Verifique se u, v e w são coplanares.
33. u=lang<= 2,-1,0rang<=, v=lang<= 3,1,2rang<= e w =lang<= 7,-1,2rang<=.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional:
,
e
.
Queremos verificar se esses vetores são coplanares, ou seja, se todos eles estão no mesmo plano.
Para resolver isso, vamos usar a produto misto dos vetores. Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares.

Passo 2

Vamos relembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u cdot (v times w) = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 , e é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Se esse determinante for igual a zero, os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
2 & -1 & 0 3 & 1 & 2 7 & -1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz Determinante &= 2 cdot 1 & 2 -1 & 2 - (-1) cdot 3 & 2 7 & 2 + 0 cdot 3 & 1 7 & -1 &= 2 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 2) + 1 cdot (3 cdot 2 - 7 cdot 2) + 0 &= 2 cdot (2 + 2) + 1 cdot (6 - 14) &= 2 cdot 4 + 1 cdot (-8) &= 8 - 8 &= 0 , usamos a regra de Sarrus ou o método de expansão. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Resposta

O produto misto é igual a zero, então os vetores , e são coplanares.

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