Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações reduzidas de cada uma dessas cônicas e identificar qual tipo de cônica elas representam. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que é uma técnica de álgebra que ajuda a transformar equações gerais em formas mais simples e reconhecíveis. Vamos mandar ver nas partes a) até d)!
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e os termos de
para facilitar. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 4
Fazemos o mesmo para o
. O coeficiente de
é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 5
Agora, reescrevemos os termos completados:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por 2 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos de
e
:
Passo 8
Primeiro, fatoramos os coeficientes dos quadrados:
Passo 9
Completamos o quadrado para
. O coeficiente de
dentro do parêntese é -6. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Ficando:
Passo 10
Agora, completamos o quadrado para
. O coeficiente de
é 2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Simplificando:
Passo 11
Agrupando os termos constantes:
Dividindo ambos os lados por 36:
Passo 12
Vamos reorganizar os termos de
e
:
Passo 13
Vamos completar o quadrado para
. O coeficiente de
é -2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Ficando:
Passo 14
Agora, completamos o quadrado para
. Antes disso, vamos fatorar o coeficiente de
:
O coeficiente de
dentro do parêntese é -4. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 15
Agrupando os termos constantes:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 16
Vamos rearranjar para agrupar os termos de
e
:
Passo 17
Vamos completar o quadrado para
. O coeficiente de
é -4. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Ficando:
Passo 18
Isolamos o termo com
:
Passo 19
Rearranjamos para deixar
em função de
:
Resposta
A equação reduzida é:
Essa é a equação de uma parábola, já que apenas um dos termos quadráticos está presente e a equação está em função de
.
Exercícios relacionados
Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
3
Resolver a equacão diferencial homogênea:
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Prove por indução finita:
.
Prove por indução finita:
.