Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações reduzidas de cada uma dessas cônicas e identificar qual tipo de cônica elas representam. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que é uma técnica de álgebra que ajuda a transformar equações gerais em formas mais simples e reconhecíveis. Vamos mandar ver nas partes a) até d)!

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de e os termos de para facilitar. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o . Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 4

Fazemos o mesmo para o . O coeficiente de é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 5

Agora, reescrevemos os termos completados:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Dividimos ambos os lados por 2 para deixar a equação na forma padrão:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos de e :

Passo 8

Primeiro, fatoramos os coeficientes dos quadrados:

Passo 9

Completamos o quadrado para . O coeficiente de dentro do parêntese é -6. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Ficando:

Passo 10

Agora, completamos o quadrado para . O coeficiente de é 2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Simplificando:

Passo 11

Agrupando os termos constantes:
Dividindo ambos os lados por 36:

Passo 12

Vamos reorganizar os termos de e :

Passo 13

Vamos completar o quadrado para . O coeficiente de é -2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Ficando:

Passo 14

Agora, completamos o quadrado para . Antes disso, vamos fatorar o coeficiente de :
O coeficiente de dentro do parêntese é -4. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 15

Agrupando os termos constantes:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 16

Vamos rearranjar para agrupar os termos de e :

Passo 17

Vamos completar o quadrado para . O coeficiente de é -4. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos:
Ficando:

Passo 18

Isolamos o termo com :

Passo 19

Rearranjamos para deixar em função de :

Resposta

A equação reduzida é:
Essa é a equação de uma parábola, já que apenas um dos termos quadráticos está presente e a equação está em função de .

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3
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