Prove por indução finita:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução finita, que para todo número inteiro
maior ou igual a 4, o fatorial de
(
) é maior que
elevado a
(
). Vamos usar o princípio da indução matemática, que tem dois passos principais: verificar o caso base e fazer a hipótese de indução para provar o próximo passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Calculamos
e
:
Como
, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos supor que para algum número inteiro
, a relação
é verdadeira. Esse é o nosso ponto de partida para provar o próximo passo.
Passo 4
Precisamos provar que, se a relação vale para
, então também vale para
. Vamos calcular
e compará-lo com
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Agora, precisamos mostrar que
. Simplificando o lado direito:
Então, a desigualdade que queremos provar é:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), temos:
Isso é sempre verdadeiro para
, já que
.
Resposta
Portanto, por indução finita, mostramos que
para todo inteiro
.
Exercícios relacionados
Prove por indução finita:
.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Prove por indução finita:
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