Prove por indução finita: n! > 2^n, para todo n ≥ 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução finita, que para todo número inteiro n maior ou igual a 4, o fatorial de n ( ) é maior que elevado a n ( 2^n). Vamos usar o princípio da indução matemática, que tem dois passos principais: verificar o caso base e fazer a hipótese de indução para provar o próximo passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Calculamos 4! e :
Como , o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos supor que para algum número inteiro , a relação é verdadeira. Esse é o nosso ponto de partida para provar o próximo passo.

Passo 4

Precisamos provar que, se a relação vale para k, então também vale para . Vamos calcular e compará-lo com :
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Agora, precisamos mostrar que . Simplificando o lado direito:
Então, a desigualdade que queremos provar é:
Dividindo ambos os lados por (que é positivo), temos:
Isso é sempre verdadeiro para , já que .

Resposta

Portanto, por indução finita, mostramos que para todo inteiro n ≥ 4.

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