Prove por indução finita:
.
Passo 1
Vamos provar que a soma
é igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que nos ajuda a demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando a soma para
:
Agora, calculando
para
:
Como
, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Começamos adicionando
aos dois lados da hipótese de indução:
Simplificando o lado direito:
Agora, vamos fatorar a expressão:
Observando que
, temos:
Portanto:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que:
Exercícios relacionados
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
Prove por indução finita:
.
Prove por indução finita:
.