Prove por indução finita: 2.1 + 2.2 + 2.3 + ... + 2n = n² + n, ∀ n ≥ 1.

Passo 1

Vamos provar que a soma é igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o método da indução matemática, que nos ajuda a demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Calculando a soma para :
Agora, calculando para :
Como , a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Começamos adicionando aos dois lados da hipótese de indução:
Simplificando o lado direito:
Agora, vamos fatorar a expressão:
Observando que , temos:
Portanto:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que:

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