Obtenha uma expressão para o módulo do campo elétrico
a uma distância
do eixo de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas negativas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma expressão para o módulo do campo elétrico
a uma distância
do eixo de uma barra cilíndrica infinita de plástico que tem uma densidade linear de carga negativa
. Vamos usar conceitos de Eletrostática e aplicar a Lei de Gauss para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como a barra é infinita e a carga está distribuída de forma uniforme, o campo elétrico vai ter a mesma intensidade em todos os pontos que estão à mesma distância
do eixo. Além disso, o campo vai ser radial, ou seja, saindo (ou entrando, já que a carga é negativa) perpendicularmente ao eixo da barra.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. A fórmula é:
Passo 4
Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como estamos lidando com uma barra infinita, o melhor é usar um cilindro coaxial com a barra. O raio desse cilindro será
(a distância do eixo onde queremos achar o campo) e o comprimento vamos chamar de
.
Passo 5
Agora, calculamos o fluxo elétrico. Como o campo elétrico
é radial e constante na superfície lateral do cilindro gaussiano, o fluxo através dessa parte é
. As extremidades do cilindro têm área perpendicular ao campo elétrico, então o fluxo por essas partes é zero.
Passo 6
A carga total dentro da superfície gaussiana é a densidade linear de carga
multiplicada pelo comprimento
:
. Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando o
dos dois lados:
Resposta
Isolando
, temos:
Então, o módulo do campo elétrico a uma distância
do eixo da barra é
.