Obtenha uma expressão para o módulo do campo elétrico E a uma distância r do eixo de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas negativas lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma expressão para o módulo do campo elétrico E a uma distância r do eixo de uma barra cilíndrica infinita de plástico que tem uma densidade linear de carga negativa lambda. Vamos usar conceitos de Eletrostática e aplicar a Lei de Gauss para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como a barra é infinita e a carga está distribuída de forma uniforme, o campo elétrico vai ter a mesma intensidade em todos os pontos que estão à mesma distância r do eixo. Além disso, o campo vai ser radial, ou seja, saindo (ou entrando, já que a carga é negativa) perpendicularmente ao eixo da barra.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como estamos lidando com uma barra infinita, o melhor é usar um cilindro coaxial com a barra. O raio desse cilindro será r (a distância do eixo onde queremos achar o campo) e o comprimento vamos chamar de L.

Passo 5

Agora, calculamos o fluxo elétrico. Como o campo elétrico E é radial e constante na superfície lateral do cilindro gaussiano, o fluxo através dessa parte é E cdot 2pi r L. As extremidades do cilindro têm área perpendicular ao campo elétrico, então o fluxo por essas partes é zero.

Passo 6

A carga total dentro da superfície gaussiana é a densidade linear de carga lambda multiplicada pelo comprimento L: Qdentro = lambda L. Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0
Podemos simplificar cancelando o L dos dois lados:
E cdot 2pi r = lambdavarepsilon0

Resposta

Isolando E, temos:
|E| = |lambda|2pi varepsilon0 r
Então, o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da barra é |E| = dfrac|lambda|2pi varepsilon0 r.

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