Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma fórmula para a n-ésima derivada da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas sucessivas e observar o padrão que surge ao derivar essa função várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a primeira derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada:
Passo 5
Derivando mais uma vez, temos a quarta derivada:
Passo 6
Observando os resultados das derivadas anteriores, percebemos um padrão. A cada derivação, o sinal alterna e o coeficiente é um fatorial que aumenta conforme a ordem da derivada. Podemos generalizar isso para a n-ésima derivada.
Passo 7
A fórmula geral para a n-ésima derivada de
é:
Resposta
A n-ésima derivada de
é:
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Resolva os problemas abaixo:
(e) Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas . Se a viatura se desloca a 60 milhas
no instante da medição, qual é a velocidade do fugitivo?
(e) Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(b)
(b)
Calcule as derivadas abaixo:
(l)
(l)
A variação na entropia de um gás ideal pode ser escrita na forma
Escreva uma expressão para
(C
é a capacidade calorífica a volume constante, logo o segundo termo é uma constante).