Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma fórmula para a n-ésima derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas sucessivas e observar o padrão que surge ao derivar essa função várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a primeira derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada:

Passo 5

Derivando mais uma vez, temos a quarta derivada:

Passo 6

Observando os resultados das derivadas anteriores, percebemos um padrão. A cada derivação, o sinal alterna e o coeficiente é um fatorial que aumenta conforme a ordem da derivada. Podemos generalizar isso para a n-ésima derivada.

Passo 7

A fórmula geral para a n-ésima derivada de é:

Resposta

A n-ésima derivada de é:

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