Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma fórmula para a n-ésima derivada da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas sucessivas e observar o padrão que surge ao derivar essa função várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a primeira derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada:
Passo 5
Derivando mais uma vez, temos a quarta derivada:
Passo 6
Observando os resultados das derivadas anteriores, percebemos um padrão. A cada derivação, o sinal alterna e o coeficiente é um fatorial que aumenta conforme a ordem da derivada. Podemos generalizar isso para a n-ésima derivada.
Passo 7
A fórmula geral para a n-ésima derivada de
é:
Resposta
A n-ésima derivada de
é: