Resolva os problemas abaixo:
(e) Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas
. Se a viatura se desloca a 60 milhas
no instante da medição, qual é a velocidade do fugitivo?
(e) Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma viatura de polícia que está vindo do norte em direção a um cruzamento em formato de ângulo reto. Enquanto isso, um carro furtivo está se afastando para leste após passar pelo cruzamento. No momento da medição, a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro a 0,8 milha a leste. O radar da polícia detecta que a distância entre os dois está aumentando a uma taxa de 20 milhas por hora. Sabendo que a viatura está se movendo a 60 milhas por hora, queremos descobrir a velocidade do carro fugitivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine um cruzamento onde a viatura está ao norte, a 0,6 milha de distância, e o carro está a leste, a 0,8 milha do cruzamento. À medida que o tempo passa, a viatura se move para o sul em direção ao cruzamento a 60 milhas por hora, e o carro se afasta para o leste com uma velocidade que queremos descobrir, que vamos chamar de
.
Passo 3
Vamos chamar a distância da viatura ao cruzamento de
e a distância do carro ao cruzamento de
. A distância entre a viatura e o carro é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por
e
. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:
onde
é a distância entre a viatura e o carro.
Passo 4
Queremos saber como a distância
está mudando em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que
milhas/hora. Também sabemos que a viatura está se movendo a
milhas/hora (negativo porque está se aproximando do cruzamento) e queremos encontrar
.
Passo 5
Vamos derivar a equação de Pitágoras em relação ao tempo para relacionar as taxas:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Neste momento:
-
milha -
milha -
milhas/h -
milhas/h
Queremos encontrar.
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A velocidade do carro fugitivo é de 70 milhas por hora.