Resolva os problemas abaixo:
(e) Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas h. Se a viatura se desloca a 60 milhas h no instante da medição, qual é a velocidade do fugitivo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma viatura de polícia que está vindo do norte em direção a um cruzamento em formato de ângulo reto. Enquanto isso, um carro furtivo está se afastando para leste após passar pelo cruzamento. No momento da medição, a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro a 0,8 milha a leste. O radar da polícia detecta que a distância entre os dois está aumentando a uma taxa de 20 milhas por hora. Sabendo que a viatura está se movendo a 60 milhas por hora, queremos descobrir a velocidade do carro fugitivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine um cruzamento onde a viatura está ao norte, a 0,6 milha de distância, e o carro está a leste, a 0,8 milha do cruzamento. À medida que o tempo passa, a viatura se move para o sul em direção ao cruzamento a 60 milhas por hora, e o carro se afasta para o leste com uma velocidade que queremos descobrir, que vamos chamar de .

Passo 3

Vamos chamar a distância da viatura ao cruzamento de e a distância do carro ao cruzamento de . A distância entre a viatura e o carro é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por e . Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:
onde é a distância entre a viatura e o carro.

Passo 4

Queremos saber como a distância está mudando em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que milhas/hora. Também sabemos que a viatura está se movendo a milhas/hora (negativo porque está se aproximando do cruzamento) e queremos encontrar .

Passo 5

Vamos derivar a equação de Pitágoras em relação ao tempo para relacionar as taxas:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Neste momento:
  • milha
  • milha
  • milhas/h
  • milhas/h
    Queremos encontrar .
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A velocidade do carro fugitivo é de 70 milhas por hora.

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