Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.(d) sumn=2^+infty (-1)^n-1 2^2 n5^n-1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos a série infinita:
sumn=2^+infty (-1)^n-1 2^2n5^n-1
O objetivo é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente para séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=2^+infty |(-1)^n-1 2^2n5^n-1| = sumn=2^+infty 2^2n5^n-1
Simplificando, sabemos que 2^2n = (2^2)^n = 4^n. Então, a série fica:
sumn=2^+infty 4^n5^n-1 = 5 cdot sumn=2^+infty (45)^n

Passo 3

Agora, percebemos que temos uma série geométrica da forma:
sumn=2^+infty r^n
onde r = 45. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| < 1. Nesse caso, |45| = 0,8 < 1, o que significa que a série converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta já garante a convergência da série.

Resposta

A série sumn=2^+infty (-1)^n-1 2^2n5^n-1 é absolutamente convergente.

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