Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.(d)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos a série infinita:
O objetivo é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente para séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Simplificando, sabemos que . Então, a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que temos uma série geométrica da forma:
onde . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão . Nesse caso, , o que significa que a série converge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta já garante a convergência da série.