Obtenha a interseção da reta r com o Plano pi: r:(x, y, z)=(-1,-1,0)+lambda(1,-1,-1), pi: x+y+z+1=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma reta e um plano , e precisa descobrir onde eles se cruzam, ou seja, qual o ponto de interseção deles. Aqui, estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações da reta e do plano. A reta (x, y, z) = (-1, -1, 0) + lambda(1, -1, -1) está dada pela equação paramétrica:
x + y + z + 1 = 0
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o parâmetro .
O plano é dado pela equação:
Essa é a forma geral da equação de um plano no espaço.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, vamos substituir as expressões de x = -1 + lambda y = -1 - lambda z = 0 - lambda = -lambda , e da reta na equação do plano. Isso vai nos permitir resolver para .
Da reta, temos:

Passo 4

Substituindo esses valores na equação do plano:
(-1 + lambda) + (-1 - lambda) + (-lambda) + 1 = 0
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos somar os termos:
-1 + lambda -1 - lambda - lambda + 1 = 0
Agora, combinamos os termos semelhantes.

Passo 6

Somando os constantes e os termos com (-1 -1 +1) + (lambda - lambda - lambda) = 0 -1 - lambda = 0 :

Passo 7

Agora, vamos isolar -1 - lambda = 0 -lambda = 1 lambda = -1 :

Passo 8

Com x = -1 + (-1) = -2 y = -1 - (-1) = 0 z = -(-1) = 1 , vamos substituir de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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