Verifique se (S,+,. ) é subcorpo de (R,+,é.$) com as operações usuais em cada um dos casos: ) com as operações usuais em cada um dos casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se o conjunto é um subcorpo dos números reais com as operações normais de adição e multiplicação. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subcorpo e verificar se satisfaz todos os requisitos necessários.

Passo 2

Primeiro, o que é um subcorpo? Um subcorpo de um corpo é um subconjunto de que, por si só, também forma um corpo com as mesmas operações de adição e multiplicação de . Isso significa que precisa cumprir algumas propriedades:
  1. Fechamento sob a adição e multiplicação: Se você adicionar ou multiplicar dois elementos de , o resultado também deve estar em .
  2. Existência do elemento neutro: Deve existir um elemento em que, quando adicionado a qualquer elemento de , não muda esse elemento (o zero).
  3. Existência de inversos: Para cada elemento em , deve existir outro elemento em que, quando somado, dá o elemento neutro (inverso aditivo) e, se o elemento não for zero, um inverso multiplicativo.
  4. Associatividade, comutatividade e distributividade: As operações de adição e multiplicação devem ser associativas e comutativas, e a multiplicação deve distribuir sobre a adição.
Vamos verificar cada um desses pontos para .

Passo 3

1. Fechamento sob a adição:
Se pegarmos dois elementos de (a + braiz3) + (c + draiz3) = (a + c) + (b + d)raiz3 , digamos (a + braiz3)(c + draiz3) = ac + (ad + bc)raiz3 + bd(3) = (ac + 3bd) + (ad + bc)raiz3 e , sua soma é:
Como são inteiros, e também são inteiros. Portanto, a soma está em .
2. Fechamento sob a multiplicação:
Multiplicando os mesmos elementos:
Novamente, como são inteiros, e também são inteiros. Assim, o produto está em .
3. Elemento neutro para a adição:
O elemento neutro para a adição é . Em , temos e , então está em .
4. Inversos aditivos:
Para cada em , o inverso aditivo é , que também está em porque e são inteiros.

Passo 4

5. Inversos multiplicativos:
Aqui é que a coisa complica. Para que 1a + braiz3 = a - braiz3a^2 - 3b^2 seja um subcorpo, cada elemento diferente de zero deve ter um inverso multiplicativo que também esteja em a^2 - 3b^2 = 4 - 3 = 1 .
Vamos pegar um elemento genérico a^2 - 3b^2 = 1 - 3 = -2 em (com e inteiros). O inverso multiplicativo desse elemento é:
Para que esse inverso esteja em , deve ser da forma com inteiros.
Isso só acontece se . Porém, isso impõe uma condição muito restrita nos valores de e . Por exemplo, se e :
Então, o inverso de seria , que está em .
Mas, se escolhermos e :
Então, o inverso seria , que não está em porque e não são inteiros.

Passo 5

Como nem todos os elementos de têm um inverso multiplicativo que também está em , o conjunto não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subcorpo de .

Resposta

Não, não é um subcorpo de .

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