Verifique se
.
.$) com as operações usuais em cada um dos casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se o conjunto
é um subcorpo dos números reais
com as operações normais de adição e multiplicação. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subcorpo e verificar se
satisfaz todos os requisitos necessários.
Passo 2
Primeiro, o que é um subcorpo? Um subcorpo de um corpo
é um subconjunto
de
que, por si só, também forma um corpo com as mesmas operações de adição e multiplicação de
. Isso significa que
precisa cumprir algumas propriedades:
- Fechamento sob a adição e multiplicação: Se você adicionar ou multiplicar dois elementos de
, o resultado também deve estar em . - Existência do elemento neutro: Deve existir um elemento em
que, quando adicionado a qualquer elemento de , não muda esse elemento (o zero). - Existência de inversos: Para cada elemento em
, deve existir outro elemento em que, quando somado, dá o elemento neutro (inverso aditivo) e, se o elemento não for zero, um inverso multiplicativo. - Associatividade, comutatividade e distributividade: As operações de adição e multiplicação devem ser associativas e comutativas, e a multiplicação deve distribuir sobre a adição.
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
Passo 3
1. Fechamento sob a adição:
Se pegarmos dois elementos de
, digamos
e
, sua soma é:
Como
são inteiros,
e
também são inteiros. Portanto, a soma está em
.
2. Fechamento sob a multiplicação:
Multiplicando os mesmos elementos:
Novamente, como
são inteiros,
e
também são inteiros. Assim, o produto está em
.
3. Elemento neutro para a adição:
O elemento neutro para a adição é
. Em
, temos
e
, então
está em
.
4. Inversos aditivos:
Para cada
em
, o inverso aditivo é
, que também está em
porque
e
são inteiros.
Passo 4
5. Inversos multiplicativos:
Aqui é que a coisa complica. Para que
seja um subcorpo, cada elemento diferente de zero deve ter um inverso multiplicativo que também esteja em
.
Vamos pegar um elemento genérico
em
(com
e
inteiros). O inverso multiplicativo desse elemento é:
Para que esse inverso esteja em
,
deve ser da forma
com
inteiros.
Isso só acontece se
. Porém, isso impõe uma condição muito restrita nos valores de
e
. Por exemplo, se
e
:
Então, o inverso de
seria
, que está em
.
Mas, se escolhermos
e
:
Então, o inverso seria
, que não está em
porque
e
não são inteiros.
Passo 5
Como nem todos os elementos de
têm um inverso multiplicativo que também está em
, o conjunto
não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subcorpo de
.
Resposta
Não,
não é um subcorpo de
.