Seja f: X Y uma função e sejam A, A^prime subset X e B, B^prime subset Y. Prove que:
Se f é bijetiva então undersetXf(C A)=CY^C f(A).

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos lá! Temos uma função f(C A) = CY f(A) que é bijetiva. Isso significa que é uma função que é injeção (cada elemento de é mapeado para um elemento único em ) e sobremapeamento (todos os elementos de são alcançados por ).
Nosso objetivo é provar que:
Aqui, representa o complemento de em e é o complemento de em .
Para resolver isso, vamos precisar entender como os complementos funcionam e como a função bijetiva interage com esses conjuntos.

Passo 2

Definindo Complementos
Primeiro, vamos revisar o que são complementos. O complemento de um conjunto C A = X setminus A = x in X mid x notin A em CY f(A) = Y setminus f(A) = y in Y mid y notin f(A) , denotado por ou , é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em :
De maneira similar, o complemento de em é:

Passo 3

Aplicando a Função Bijetiva aos Complementos
Agora, queremos ver o que acontece quando aplicamos f(C A) = f(X setminus A) ao complemento de :
Como é bijetiva, sabemos que ela mapeia cada elemento de para um elemento único em , e todo elemento de tem um correspondente em .

Passo 4

Mostrando que
Vamos mostrar primeiro que todo elemento em está em .
Seja . Isso significa que existe algum tal que .
Como , então . Suponha, por contradição, que . Então, existe tal que . Mas sendo injetiva, teríamos implica , o que é impossível já que e .
Portanto, , ou seja, . Logo, .

Passo 5

Mostrando que
Agora, vamos provar o contrário. Seja . Queremos mostrar que .
Como , temos que . Já que é sobrejetiva, existe algum tal que .
Se estivesse em , então estaria em , o que é uma contradição. Portanto, , ou seja, . Assim, .
Logo, .

Passo 6

Concluindo a Igualdade
Como mostramos que:
f(C A) subseteq CY f(A) e CY f(A) subseteq f(C A)
Podemos concluir que:
f(C A) = CY f(A)

Resposta

Portanto, se f(C A) = CY f(A) é bijetiva, então:

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