Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
Se
é bijetiva então
.
Se
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos lá! Temos uma função
que é bijetiva. Isso significa que
é uma função que é injeção (cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
) e sobremapeamento (todos os elementos de
são alcançados por
).
Nosso objetivo é provar que:
Aqui,
representa o complemento de
em
e
é o complemento de
em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os complementos funcionam e como a função bijetiva
interage com esses conjuntos.
Passo 2
Definindo Complementos
Primeiro, vamos revisar o que são complementos. O complemento de um conjunto
em
, denotado por
ou
, é o conjunto de todos os elementos que estão em
mas não estão em
:
De maneira similar, o complemento de
em
é:
Passo 3
Aplicando a Função Bijetiva aos Complementos
Agora, queremos ver o que acontece quando aplicamos
ao complemento de
:
Como
é bijetiva, sabemos que ela mapeia cada elemento de
para um elemento único em
, e todo elemento de
tem um correspondente em
.
Passo 4
Mostrando que
Vamos mostrar primeiro que todo elemento em
está em
.
Seja
. Isso significa que existe algum
tal que
.
Como
, então
. Suponha, por contradição, que
. Então, existe
tal que
. Mas
sendo injetiva, teríamos
implica
, o que é impossível já que
e
.
Portanto,
, ou seja,
. Logo,
.
Passo 5
Mostrando que
Agora, vamos provar o contrário. Seja
. Queremos mostrar que
.
Como
, temos que
. Já que
é sobrejetiva, existe algum
tal que
.
Se
estivesse em
, então
estaria em
, o que é uma contradição. Portanto,
, ou seja,
. Assim,
.
Logo,
.
Passo 6
Concluindo a Igualdade
Como mostramos que:
Podemos concluir que:
Resposta
Portanto, se
é bijetiva, então: