Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
. Se
é injetiva vale a igualdade
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
e dois subconjuntos de
, chamados
e
. Queremos provar que a imagem da interseção desses conjuntos pela função
está contida na interseção das imagens individuais de
e
. Também, se a função
for injetiva (ou seja, cada elemento de
tem no máximo um correspondente em
), então essas duas coisas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem de conjuntos, interseção de conjuntos e função injetiva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto pela função
. A imagem de
por
, escrita como
, é o conjunto de todos os elementos em
que são
para algum
em
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos pensar na interseção
. Esse conjunto contém todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. A imagem dessa interseção pela função
é:
Passo 4
Vamos analisar o que está dentro de
. Esse conjunto contém todos os
em
que estão em
e também em
. Ou seja:
Isso significa que existem
e
tais que
e
.
Passo 5
Para mostrar que
, pegamos um elemento qualquer
em
. Isso significa que existe algum
que está tanto em
quanto em
, e
. Como
está em
,
está em
. Da mesma forma, como
está em
,
também está em
. Portanto,
está na interseção
. Isso mostra que cada elemento de
está em
, ou seja:
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso em que a função
é injetiva. Queremos mostrar que, além de
, também temos
, o que resultaria em:
Se
é injetiva, então se
, isso implica que
. Então, se
está em
, existe um único
em
e um único
em
tal que
. Como
é injetiva,
, ou seja,
está em
. Portanto,
está em
, mostrando que
.
Resposta
Concluímos que
. Além disso, se
for injetiva, então
.