Seja f: X Y uma função e sejam A, A^prime subset X e B, B^prime subset Y. Prove que:
f(A cap A^prime) subset f(A) cap f(A^prime). Se f é injetiva vale a igualdade f(A cap A^prime)=f(A) cap f(A^prime).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função e dois subconjuntos de , chamados e . Queremos provar que a imagem da interseção desses conjuntos pela função está contida na interseção das imagens individuais de e . Também, se a função for injetiva (ou seja, cada elemento de tem no máximo um correspondente em ), então essas duas coisas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem de conjuntos, interseção de conjuntos e função injetiva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto pela função f(A) = f(x) mid x in A . A imagem de por , escrita como , é o conjunto de todos os elementos em que são para algum em . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos pensar na interseção f(A cap A') = f(x) mid x in A cap A' . Esse conjunto contém todos os elementos que estão tanto em quanto em . A imagem dessa interseção pela função é:

Passo 4

Vamos analisar o que está dentro de f(A) cap f(A') = y mid y in f(A) e y in f(A') . Esse conjunto contém todos os em que estão em e também em . Ou seja:
Isso significa que existem e tais que e .

Passo 5

Para mostrar que f(A cap A') subset f(A) cap f(A') , pegamos um elemento qualquer em . Isso significa que existe algum que está tanto em quanto em , e . Como está em , está em . Da mesma forma, como está em , também está em . Portanto, está na interseção . Isso mostra que cada elemento de está em , ou seja:

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso em que a função f(A cap A') = f(A) cap f(A') é injetiva. Queremos mostrar que, além de , também temos , o que resultaria em:
Se é injetiva, então se , isso implica que . Então, se está em , existe um único em e um único em tal que . Como é injetiva, , ou seja, está em . Portanto, está em , mostrando que .

Resposta

Concluímos que . Além disso, se for injetiva, então .

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