Obtenha o limite. lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4.
Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites e Funções Racionais. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar frações algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de 3(4)^2 - 8(4) - 16 = 3(16) - 32 - 16 = 48 - 32 - 16 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece.
No numerador:
2(4)^2 - 9(4) + 4 = 2(16) - 36 + 4 = 32 - 36 + 4 = 0
No denominador:
A forma que obtivemos foi , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador:
3x^2 - 8x - 16
Procura-se dois números que multiplicados dão 3x^2 - 12x + 4x - 16 = 3x(x - 4) + 4(x - 4) = (3x + 4)(x - 4) e que somados dão 2x^2 - 9x + 4 . Esses números são 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x(x - 4) - 1(x - 4) = (2x - 1)(x - 4) e .
Então, reescrevemos o numerador:
Denominador:
Procura-se dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, reescrevemos o denominador:

Passo 4

Agora, nossa expressão ficou:
(3x + 4)(x - 4)(2x - 1)(x - 4)
Podemos cancelar o termo 3x + 42x - 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a fração simplificada, agora podemos substituir 3(4) + 42(4) - 1 = 12 + 48 - 1 = 167 novamente:

Resposta

O limite é .

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