Obtenha os limites
lim x 3 x^3-27x^2-5 x+6

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente sobre como calcular limites que resultam em uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos 3^3 - 273^2 - 5 times 3 + 6 = 27 - 279 - 15 + 6 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Notamos que isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula:
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
limx 3 (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x - 2)(x - 3)
Observamos que o termo limx 3 x^2 + 3x + 9x - 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificá-lo:

Passo 6

Agora, substituímos 3^2 + 3 times 3 + 93 - 2 = 9 + 9 + 91 = 271 = 27 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 27.

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Para cada uma das funções abaixo, calcule lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) :
f(x)=4x-6, a=6