Obtenha os limites
lim x 2 x^3-8x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2 x^3-8x-2. Esse exercício é de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e calcular limites quando substituição direta resulta em uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x diretamente na expressão para ver o que acontece:
2^3 - 82 - 2 = 8 - 80 = 00
Vimos que obtemos 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma expressão como x^3 - 8, podemos notar que ela é uma diferença de cubos. A diferença de cubos pode ser fatorada usando a fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aqui, a = x e b = 2. Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula de diferença de cubos:
x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Agora, nossa expressão original fica:
x^3 - 8x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2

Passo 5

Observamos que o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
(x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2 = x^2 + 2x + 4 (para x neq 2)
Agora, podemos calcular o limite substituindo x por 2 nessa expressão simplificada.

Resposta

Substituindo x = 2 na expressão simplificada:
2^2 + 2 times 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Portanto, o limite é 12.

Exercícios relacionados

Obtenha os limites
lim x 1 x^2-2 x+1x-1
Obtenha os limites
lim x 0 x^2+xx^2-3 x
Obtenha os limites
lim x 3 x^3-27x^2-5 x+6
Obtenha os limites
lim x -1 x+1x^2+3 x+2