Obtenha os limites
lim x 1 x^2-4 x+3x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem dividir dois polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^2 - 4 cdot 1 + 31^3 - 1 = 1 - 4 + 31 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum. Começando pelo numerador x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) :
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Agora, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada pela fórmula . Aqui, e :

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos reescrever a expressão original:
(x - 1)(x - 3)(x - 1)(x^2 + x + 1)
Perceba que o termo x - 3x^2 + x + 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido no contexto do limite):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 1 - 31^2 + 1 + 1 = -23 :

Resposta

O limite é .

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Obtenha os limites
lim x 1 x-1x^2-3 x+2
Obtenha os limites
lim x 5 5-x25-x^2
Para cada uma das funções abaixo, calcule lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) :
f(x)=31-x, a=1
Para cada uma das funções abaixo, calcule lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) :
f(x)=1x, a=0