Obtenha os máximos e mínimos de restrita a : e

Passo 1

Então, a gente tem aqui um problema de matemática onde precisamos encontrar os pontos máximos e mínimos da função restrita pela condição . Esse tipo de problema geralmente envolve o uso de multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções sob certas restrições. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar os multiplicadores de Lagrange para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição de forma que possamos usar os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador, que vamos chamar de , e construímos a função Lagrangiana:
Substituindo :

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero.
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Terceira derivada em relação a :

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 3:

Passo 5

Agora, vamos usar a restrição para expressar em termos de :
Substituímos essa expressão na equação :
Expande o quadrado:
Então,
Multiplicando por -1:

Passo 6

Resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Agora, encontramos os valores de . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Para :
Para :

Passo 8

Agora temos dois pontos candidatos:
Para determinar se são máximos ou mínimos, podemos avaliar o valor da função em cada ponto.
Para :
Calculando:
Para :

Resposta

Os extremos da função restrita à condição são:
  • Máximo em com valor aproximadamente .
  • Mínimo em com valor .

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As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
c) .
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.