Obtenha os máximos e mínimos de
restrita a
:
e
Passo 1
Então, a gente tem aqui um problema de matemática onde precisamos encontrar os pontos máximos e mínimos da função
restrita pela condição
. Esse tipo de problema geralmente envolve o uso de multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções sob certas restrições. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar os multiplicadores de Lagrange para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a restrição
de forma que possamos usar os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador, que vamos chamar de
, e construímos a função Lagrangiana:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Terceira derivada em relação a
:
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 3:
Passo 5
Agora, vamos usar a restrição
para expressar
em termos de
:
Substituímos essa expressão na equação
:
Expande o quadrado:
Então,
Multiplicando por -1:
Passo 6
Resolvemos essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 7
Agora, encontramos os valores de
. Vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora temos dois pontos candidatos:
Para determinar se são máximos ou mínimos, podemos avaliar o valor da função
em cada ponto.
Para
:
Calculando:
Para
:
Resposta
Os extremos da função
restrita à condição
são:
- Máximo em
com valor aproximadamente . - Mínimo em
com valor .
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As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
c) .
c)
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.