Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a parametrização por comprimento de arco de uma reta dada pelas equações:
Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente parametrização de curvas no espaço. Para resolver isso, precisamos entender como reescrever a equação da reta de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco, garantindo que a orientação e o ponto de referência
sejam mantidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta original. Observando as equações paramétricas, vemos que o vetor diretor é:
Esse vetor indica a direção e orientação da reta.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o comprimento desse vetor diretor, que é a norma da vector
. A norma é dada por:
Isso nos ajuda a entender a taxa de variação do parâmetro
em relação ao comprimento de arco.
Passo 4
A parametrização por comprimento de arco exige que o parâmetro seja a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto de referência. Para isso, ajustamos o parâmetro original
em função do comprimento de arco
. Sabemos que:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituímos agora o valor de
na equação original da reta para obter a parametrização em termos de
:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Agora, temos a parametrização da reta em função do comprimento de arco
, mantendo a mesma orientação e ponto de referência.
Resposta
A parametrização por comprimento de arco da reta é: