Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
x = 1 + t, y = 3 - 2t, z = 4 + 2t
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência 1, 3, 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a parametrização por comprimento de arco de uma reta dada pelas equações:
x = 1 + t, y = 3 - 2t, z = 4 + 2t
Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente parametrização de curvas no espaço. Para resolver isso, precisamos entender como reescrever a equação da reta de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco, garantindo que a orientação e o ponto de referência 1, 3, 4 sejam mantidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta original. Observando as equações paramétricas, vemos que o vetor diretor é:
Esse vetor indica a direção e orientação da reta.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o comprimento desse vetor diretor, que é a norma da vector v. A norma é dada por:
Isso nos ajuda a entender a taxa de variação do parâmetro t em relação ao comprimento de arco.

Passo 4

A parametrização por comprimento de arco exige que o parâmetro seja a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto de referência. Para isso, ajustamos o parâmetro original t em função do comprimento de arco s. Sabemos que:
Resolvendo para t:

Passo 5

Substituímos agora o valor de t na equação original da reta para obter a parametrização em termos de s:

Passo 6

Simplificando as expressões:
Agora, temos a parametrização da reta em função do comprimento de arco s, mantendo a mesma orientação e ponto de referência.

Resposta

A parametrização por comprimento de arco da reta é:

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